[L2] Exercice ordinaire de probabilité

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Hiruma

[Résolu] [L2] Exercice ordinaire de probabilité

Message non lu par Hiruma »

Bonjour,

Je bloque sur un exercice de probabilité à la question iv). Voici l'énoncé :

Dans les $p$ boîtes à lettres d'un immeuble, un facteur est chargé de distribuer $n$ lettres dont $r_1$ pour la boîte $1$, $r_2$ pour la boîte $2$, ...,$r_p$ pour la boîte $p$, où $r_1 +r_2 + ... + r_p = n $. Comme il fait noir, le facteur distribue au hasard les lettres dans les boîtes. Calculer les probabilités des évènements suivants :
$A$ : la distribution est correcte ;
$B$ : la boîte 1 est correctement remplie ;
$C$ : la boîte 1 ne contient aucune lettre qui ne lui est pas destinée ;
$D$ : chaque boîte $i$ contient exactement $r_i$ lettres, $i=1, \cdots, p$

Je numérote les lettres de $1$ à $n$ et je pose $\Omega$ comme ceci : $\Omega = \Big\{\omega = (x_1, \cdots, x_p)$ tels que $i \mapsto x_j , E\rightarrow F$ avec $E=\{1, \cdots, n\}$ et $F=\{1, \cdots, p\}\Big\}$. Je ne sais pas si c'est rigoureux.

On s'interesse donc a l'ensemble des fonctions de $E$ dans $F$, i.e. l'ensemble des fonctions faisant correspondre une boîte numérotée de $1$ à $p$ pour chaque lettre numérotée de $1$ à $n$. Cet ensemble est $F^E$ par définition et $|\Omega| = p^n$.

i) On a clairement $\mathbb{P}(A) = \dfrac{1}{p^n}$ (en supposant que la distribution est équiprobable pour chaque lettre).

ii) Je pose $B = \Big\{ x=(x_1, \cdots, x_p)$ tels que $i \mapsto x_1 , E\rightarrow F$ ; $j \mapsto x_k$ avec $k \neq 1$ , $E'\rightarrow F'$ avec $E=\{1, \cdots, r_1\}$, $F=\{1\}$, $E'=\{r_1 + 1, \cdots, n\}$ et $F'=\{2, \cdots, p\Big\}$.
Le calcul est le même que pour $\Omega$ et on a $\mathbb{P}(B) = \dfrac{1 \times (p-1)^{n-r_1}}{p^n}$.

iii) Même idée que pour ii) mais les $r_1$ lettres ne sont pas nécessairement dans la boîte $1$.
$B = \Big\{ x=(x_1, \cdots, x_p)$ tels que $i \mapsto x_l , E\rightarrow F$ ; $j \mapsto x_k$ avec $k \neq 1$ , $E'\rightarrow F'$ avec $E=\{1, \cdots, r_1\}$, $F=\{1, \cdots, p\}$, $E'=\{r_1 + 1, \cdots, n\}$ et $F'=\{2, \cdots, p\}\Big\}$.
$\mathbb{P}(C) = \dfrac{p^{r_1} \times (p-1)^{n-r_1}}{p^n}$.

iv) Je ne trouve pas...


Merci de me donner quelques idées...
Dernière modification par Hiruma le lundi 16 mars 2009, 09:58, modifié 1 fois.
guiguiche
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Re: [L2] Exercice ordinaire de probabilité

Message non lu par guiguiche »

J'aurai plutôt choisi comme univers :
Les lettres étant numérotées de 1 à n, les $r_1$ premières étant celles destinées à la boîte 1, les $r_2$ suivantes à la boîte 2 ... on a alors :
$$\Omega=\{(x_1,\dots,x_n)\in\llbracket1,p\rrbracket^n\}$$
où $x_i$ désigne le numéro de la boîte dans laquelle est placée la lettre i par le facteur.

Pour i) et ii), pas de problème.
Pour iii), il y a une somme portant sur le nombre k de lettres destinées à la boîte 1 à considérer.
Pour iv) c'est un petit dénombrement il me semble.
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Re: [L2] Exercice ordinaire de probabilité

Message non lu par Hiruma »

Merci, ça fonctionne très bien pour les quatre questions et j'ai retrouvé les mêmes résultats pour les trois premières questions. Néanmoins, est-il possible de répondre à la question iv) en utilisant l'$\Omega$ que j'ai proposé ?
guiguiche
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Re: [L2] Exercice ordinaire de probabilité

Message non lu par guiguiche »

La définition de ton ensemble $\Omega$ est pour le moins obscure.
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Hiruma

Re: [L2] Exercice ordinaire de probabilité

Message non lu par Hiruma »

:D c'est à ce point là ? Alors je laisse tomber ça merci.