Projection perspective d'un cercle

[jblecanard]

Bonjour/bonsoir

je sais qu'il a été prouvé que la projection perspective d'un cercle sur un plan quelconque (et par un centre optique quelconque) est une ellipse. J'essaye de faire la démonstration mais je n'y parviens pas. J'imagine qu'il faut jouer avec l'intersection d'un plan avec un cône de révolution. Malheureusement, le cône formé par les directrices qui passent par le centre optique et le cercle n'est pas nécessairement de révolution. Il a une propriété qui fait que son intersection avec un plan est une conique aussi, mais je ne sais pas de quel propriété il s'agit ni comment la montrer. Je "visualise" géométriquement pourquoi ça fonctionne mais je n'arrive pas à coucher la démo.

Si quelqu'un a une idée...

Cordialement

JB

[rebouxo]

C'est le théorème de Dandelin me semble-t-il. Ou plus exactement, cela doit se ramener au théorème de Dandelin, qui donne toutes les coniques...

Je pense que Internet doit être ton ami.

Olivier

[MC]

La projection perspective d'un cercle peut être une ellipse, mais peut aussi être une parabole ou une hyperbole (penser à la trace du cône de lumière d'une lampe torche sur un mur, suivant que le plan du mur fait avec l'axe du cône un angle supérieur, égal ou inférieur à l'angle d'ouverture du cône). Bref, ça peut être n'importe quelle conique.
Le moyen peut-être le plus facile pour s'en apercevoir est sans doute de raisonner en termes d'équations. L'équation d'un cône (de révolution ou non) avec le sommet pris pour origine du système de coordonnées est donnée par un polynôme homogène de degré deux en trois variables
$$ax^2 +by^2+ cz^2 + dxy + eyz + fzx = 0\;.$$
L'équation d'une conique est donnée par un polynôme de degré 2 en deux variables :
$$ax^2 + by^2 + c + dxy +ey + fx = 0\;.$$
On voit bien comment passer de la première équation à la deuxième en faisant $z=1$ (ce qui correspond à couper le cône par un plan) ou, dans l'autre sens, comment remonter de la deuxième équation à la première (ce qui correspond à prendre le cône de base une conique).

Cordialement.

[jblecanard]

Voilà un raisonnement simple qui me plaît. Si on prend l'équation du cône et qu'on fait l'intersection avec une équation de plan, puis qu'on change de base pour se mettre dans ce plan, on tombe simplement sur une équation de conique (qui peut être comme le suggère Rebouxo) aussi une parabole ou une hyperbole. C'est vrai pour l'intersection d'un cône avec un plan, mais dans le cas de la caméra à trou d'épingle, la construction géométrique est telle qu'on obitendra nécessairement une ellipse si le cercle est visible en entier.

Merci bien, celà répond à ma question. Je vais quand même jeter un oeil au théorème de Dandelin par curiosité. Edit : ha oui le théorème de Dandelin et ses fameuse sphères :D il n'est pas vraiment utile ici mais il est beau

[jm boc]

Il me semble mais j'aimerais avoir confirmation qu'on peut raisonner ainsi: Je travaille dans l'espace projectif E obtenu en ajoutant à l'espace ordinaire les points à l'infini. L'image par une perspective centrale F de centre O sur le plan T (plan du tableau pour le dessinateur) d'un cercle C est l'intersection du cône de sommet O et de base ce cercle C. Ce cône n'est pas nécessairement un cône droit, c'est quand même une quadrique et son intersection avec le plan T sera une conique. Ellipse, parabole ou hyperbole ? cela dépend du nombre de ses points à l'infini, qui sont les images par la perspective F des points de l'espace situé dans le plan T' parallèle à T passant par O. (Qui sont les points de E dont l'image est à l'infini.

Donc si C ne coupe pas T': ce sera une ellipse ( ou un cercle)
Si T est tangent à C ce sera une parabole
Si T coupe C en deux points, une hyperbole.
Me trompe-je ?
J'ai oublié le cas ou C est inclus dans T', alors son image est la droite à l'infini de T.

JM Boc