Théorème du graphe fermé

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alpha1601

Théorème du graphe fermé

Message non lu par alpha1601 »

bonjour!
je suis en train de développer la démonstration du théorème du graphe fermé et je suis bloquée à un passage, si quelqu'un peut m'aider je serai reconnaissante!
soient $(E, \| \| _E)$ et $(F, \| \| _F)$ deux espaces de banach, et soit une application $u:(E, \| \| _E) \rightarrow (F, \| \| _F)$ linéaire de graphe fermé alors $u$ est continue
dans un premier temps on a considéré la norme $N(x)= \| x \|_E + \|u(x) \|_F$ et on a démontrer que $(E, N)$ est un espace de banach
Ensuite , on veut démontrer que la topologie associée à $N$ est identique à celle associée à $ \| \|_E$ et on va utiliser pour ceci ce resultat : si on a deux normes l'une inférieure à l'autre, et qui rendent $E$ de banach alors les topologies associées à ces deux normes $T_N$ et $ T_{\| \| _E}$ sont identiques
j'ai procédès comme suit:
on a $ \|x \| _E \le N(x)$ par définition de $N(x)$
donc $T_{\| \| _E}$ est moins fine que $T_N$
je doit montrer maintenant que la $T_N$ est moins fine que $T_{\| \| _E}$ pour avoir l'égalité et c'est là où je me suis bloquée
un coup de pouce SVP!
Tonn83
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Re: théorème du graphe fermé

Message non lu par Tonn83 »

Suggestion : Si je prononce les mots "ouvert", "Banach", "surjectif", que me réponds-tu ? :roll:
Tonn83
OG
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Re: théorème du graphe fermé

Message non lu par OG »

bonjour

Pour conclure il suffit d'utiliser le théorème de l'application ouverte.
Plus précisément une conséquence du théorème de l'application ouverte est : soient $N_1$ et $N_2$ sont deux normes qui font de $E$ un Banach, s'il existe $M>0$ tel que pour tout $x$ dans $E$ $N_1(x)\leq M N_2(x)$ alors les deux normes sont équivalentes.

Pour le graphe fermé, dès que tu as démontré que (justement car le graphe est fermé) que $N$ est une norme qui rend $E$ Banach c'est terminé.

O.G.
alpha1601

Re: théorème du graphe fermé

Message non lu par alpha1601 »

Tonn83 a écrit :Suggestion : Si je prononce les mots "ouvert", "Banach", "surjectif", que me réponds-tu ? :roll:
je doit montrer qu'un ouvert pour $T_N$ est aussi un ouvert pour $T_{ \| \|_E }$, mais je vois pas comment procédés, et je vois pas non plus l'utilité des mot "Banach" et "surjectif", encore plus d'explication SVP!

@OG : en fait je dois pas utiliser le théorème de l'application ouverte dans la démonstration de ce théorème car je doit l'énoncé après comme conséquence du théorème du graphe fermé parce je suis en train de faire un exposé là !
donc pour avoir la conclusion le prof m'as proposé d'utiliser le résultat que j'ai cité là dessus à condition que je la démontre
OG
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Re: Théorème du graphe fermé

Message non lu par OG »

Bonjour

Je comprends mieux tes difficultés. Tu peux peut-être t'inspirer de la preuve
du théorème de l'application ouverte ?
bon courage

O.G.
Tonn83
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Re: théorème du graphe fermé

Message non lu par Tonn83 »

alpha1601 a écrit :
Tonn83 a écrit :Suggestion : Si je prononce les mots "ouvert", "Banach", "surjectif", que me réponds-tu ? :roll:
je doit montrer qu'un ouvert pour $T_N$ est aussi un ouvert pour $T_{ \| \|_E }$, mais je vois pas comment procédés, et je vois pas non plus l'utilité des mot "Banach" et "surjectif", encore plus d'explication SVP!
En fait, mon message avait pour but de te faire penser au théorème de l'application ouverte. :D

Sinon, la dernière suggestion de OG est la bonne. Paraphrase une preuve du théorème de l'application ouverte dans la présente situation. Joyeux Noel.
Tonn83