Egalité au sens des distributions

[brahim121985]

Bonjour,
si on $f$=$g$ au sens de distribution, cad $\int_\Omega f \phi=\int_\Omega g \phi $, pour toute $\phi$ dans $D(\Omega)$, et si $g \in L^2(\Omega)$, est ce qu'on a aussi $f \in L^2(\Omega)$ ? si oui comment le montrer.

[Valvino]

Je ne comprends pas ta question? Si $f=g$, et si $g \in L^2$, alors $f \in L^2$...

[OG]

Bonsoir

Si $f$ et $g$ sont deux fonctions mesurables égales au sens des distributions avec $g$ dans $L^2$ alors oui $f=g$ a.e. et bien sûr $f$ dans $L^2$. Cela vient d'un résultat de densité.
Si $\Omega$ est borné, alors ${\mathcal D}(\Omega)$ est dense dans $L^2(\Omega)$ (si $\Omega$ n'est pas borné cela doit être vrai aussi, mais je me méfie de ce que j'écris).

O.G.

[Aleph]

Bonjour,

l'application $(\cdot,\cdot):L^2(\Omega)\times L^2(\Omega)\mapsto \int_\Omega f(x)g(x)dx$ est un produit scalaire.
On suppose $(f,\phi)=(g,\phi)$ pour tout $\phi\in \mathcal{D}(\Omega)$.
Si $f\in \mathcal{D}(\Omega)$, alors on a $(f,f)=(g,f)$ en prenant $\phi=f$.
Or, $\mathcal{D}(\Omega)$ est dense dans $L^2(\Omega)$ donc on peut aussi choisir $\phi=g$.
Dans ce cas, on trouve $(f,g)=(g,g)$.
Puisque $g\in L^2(\Omega)$, $(g,g)<\infty$.
D'où $(f,f)=(g,f)=(f,g)=(g,g)<\infty$, i.e., $f\in L^2(\Omega)$.

Est-ce que cela répond à ta question? L'hypothèse sur $f$ est-elle trop forte?

[popolitto]

Bonjour,

Comme OG l'a dit, si $f = g$ au sens des distributions avec $f$ et $g$ des fonctions localement intégrables, alors $f = g$ p.p. Ce résultat s'appelle le lemme de du Bois-Reymond (ou le lemme fondamental du calcul des variations), et se montre difficilement dans le cas où $f$ et $g$ sont seulement dans $L^1_{loc}$ ; cependant, il se montre facilement dans le cas où $f$ et $g$ sont dans $L^2$ :

- Le produit scalaire dans $L^2$ de $f - g$ avec toute fonction test est nul.
- Ainsi $f - g$ est orthogonale à l'espace des fonctions test.
- Or l'espace des fonctions test est dense dans $L^2$ !
- Donc $f - g$ ne peut être que nul... On a donc montré $f = g$ dans $L^2$, ie $f = g$ p.p.