[TS] Unicité des solutions des inéquations

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau inférieur au baccalauréat.

Modérateur : gdm_sco

Règles du forum
Merci de soigner la rédaction de vos messages et de consulter ce sujet avant de poster. Pensez également à utiliser la fonction recherche du forum.
jashugunnm
Utilisateur débutant
Utilisateur débutant
Messages : 3
Inscription : mardi 12 janvier 2010, 18:58

[TS] Unicité des solutions des inéquations

Message par jashugunnm »

Bonjour,
Pour la résolution d'une inéquation , j'ai doit avoir fait une erreur (bête) car j'ai deux résultats possible, mais je ne vois pas où elle est.

$\ds\frac{1}{\sqrt{b^2+1}+1} \le \frac{1}{2}$ avec $ b > 0 $

1ère méthode:
$\ds\frac{1}{\sqrt{b^2+1}+1} \le \frac{1}{2}$
$\ds\Leftrightarrow 2 \le \sqrt{b^2+1}+1 $
$\ds\Leftrightarrow 1 \le \sqrt{b^2+1}$
$\ds\Leftrightarrow \sqrt{b^2+1} \le b^2+1$ (on multiplie par $\sqrt{b^2+1}$ des deux cotés )
$\ds\Leftrightarrow \sqrt{b^2+1} -1\le b^2$

2ème méthode:
$\ds\frac{1}{\sqrt{b^2+1}+1} \le \frac{1}{2}$

$\ds\Leftrightarrow \frac{\sqrt{b^2+1}-1}{(\sqrt{b^2+1}+1)*(\sqrt{b^2+1}-1)} \le \frac{1}{2}$

$\ds\Leftrightarrow \frac{\sqrt{b^2+1}-1}{(b^2+1)-1} \le \frac{1}{2}$

$\ds\Leftrightarrow \sqrt{b^2+1}-1\le \frac{1}{2}*b^2$

Il y a peut être un endroit où il n'y a pas d'équivalence mais seulement une implication, mais je ne vois pas , merci de m'eclairer.
Dernière modification par MB le vendredi 15 janvier 2010, 00:35, modifié 2 fois.
Raison : augmentation de la taille des fractions avec \ds (displaystyle)

guiguiche
Modérateur global
Modérateur global
Messages : 8078
Inscription : vendredi 06 janvier 2006, 15:32
Statut actuel : Enseignant
Localisation : Le Mans

Re: [TS]Unicité des solutions des inéquations??

Message par guiguiche »

Pour la première méthode, je ne vois pas l'intérêt de multiplier par $\sqrt{b^2+1}$, il suffit d'élever au carré puisque les deux membres sont strictement positifs.
Pour la seconde méthode, la multiplication par l'expression conjuguée pose problème lorsque b=0 puisqu'elle est nulle (la multiplication par $b^2$ aussi).
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.

jashugunnm
Utilisateur débutant
Utilisateur débutant
Messages : 3
Inscription : mardi 12 janvier 2010, 18:58

Re: [TS]Unicité des solutions des inéquations??

Message par jashugunnm »

comme je l'avais indiqué $b$ est strictement supérieur à $ 0$. Mon problème c'est surtout à la fin j'obtiens deux résultats différents, est-ce normal?

kojak
Modérateur global
Modérateur global
Messages : 10380
Inscription : samedi 18 novembre 2006, 19:50

Re: [TS]Unicité des solutions des inéquations??

Message par kojak »

Bonjour,
jashugunnm a écrit :Mon problème c'est surtout à la fin j'obtiens deux résultats différents, est-ce normal?
Et puis ? quel est le problème :?: tu cherches à faire quoi :?:

Si tu cherches à résoudre la première inéquation, tu trouves quoi comme solution suivant tes 2 méthodes :?:
Pas d'aide par MP.

jashugunnm
Utilisateur débutant
Utilisateur débutant
Messages : 3
Inscription : mardi 12 janvier 2010, 18:58

Re: [TS]Unicité des solutions des inéquations??

Message par jashugunnm »

L'énoncé était de trouver le résultat $ \ds \sqrt{b^2+1}-1\le \frac{1}{2}\times b^2 $ que j'ai obtenu avec la deuxième méthode, mais pendant un long moment j'étais bloqué car j'obtenais le premier résultat avec la première méthode.
Donc si je comprend on modifiant les inéquations avec des opérations ( multiplier, diviser, additionner, soustraire des deux cotés de l'inégalité par la même valeur) on obtient des implications entre deux étapes et non des équivalences.

rebouxo
Modérateur global
Modérateur global
Messages : 6962
Inscription : mercredi 15 février 2006, 13:18
Localisation : le havre

Re: [TS]Unicité des solutions des inéquations??

Message par rebouxo »

Les inéquations sont un poil plus pénibles. Multiplier par un négatif change le sens de l''inéquation, il faut faire attention avec les divisions par $0$. Bref, il faut vraiment faire attention.

Ici, c'est assez rapide d'étudier la fonction $f(b) = \sqrt{b^2+1}-\dfrac{1}{2}b^2$, on montre rapidement que la fonction est décroissante sur $]0\,;\,+\infty[$, donc que $f(b) \leq f(0) = 1$. Après tu retrouves rapidement ton inéquation. Il me semble que c'est bien plus rapide côté calculs.

Olivier
A line is a point that went for a walk. Paul Klee.
Par solidarité, pas de MP.

kojak
Modérateur global
Modérateur global
Messages : 10380
Inscription : samedi 18 novembre 2006, 19:50

Re: [TS]Unicité des solutions des inéquations??

Message par kojak »

jashugunnm a écrit : Donc si je comprend on modifiant les inéquations avec des opérations ( multiplier, diviser, additionner, soustraire des deux cotés de l'inégalité par la même valeur) on obtient des implications entre deux étapes et non des équivalences.
Ici, tu as bien équivalences.

A tu essayé de résoudre tes 2 inéquations afin de voir si tu avais bien les mêmes solutions :?:
Pas d'aide par MP.

Tunaki
Utilisateur éprouvé
Utilisateur éprouvé
Messages : 660
Inscription : mardi 12 décembre 2006, 18:03

Re: [TS]Unicité des solutions des inéquations??

Message par Tunaki »

Les deux méthodes sont justes.

Si tu regardes bien, ta première inégalité peut s'écrire $\alpha \le b^2$ et ta deuxième $2\alpha \le b^2$, avec $\alpha=\sqrt{b^2+1}-1$. Il n'y a pas de contradiction, la première méthode donne juste une inégalité plus large que la deuxième. Il est clair que la deuxième inégalité implique la première.