Intégrales dépendant d'un paramètre

[MB]

Bonjour, je souhaite qu'on me rappelle les énoncés (avec hypothèses minimales) des théorèmes de continuité et de dérivation sous le signe somme dans le cadre de l'intégrale de Riemann. Je n'ai rien trouvé de très clair sur le web et je ne possède pas d'ouvrage détaillant les hypothèses de ces théorèmes (à part dans le cadre de l'intégrale de Lebesgue).

Merci d'avance.

[kojak]

Salut MB,

tu révises

continuité : Si $f : I \times [a,b]\to \R$ qui à $(x,t)$ associe $f(x,t)$ est continue sur $I\times [a,b]$ alors la fonction $\phi$ définie sur $I$ par $\phi(x)=\ds\int_a^bf(x,t) dt$ est définie et continue sur $I$.

dérivabilité : faut déjà la continuité ci dessus et que $\dfrac{\partial f}{\partial x}$ définie continue sur $I\times [a,b]$ alors $\phi$ est dérivable et sa dérivée est $\phi'(x)=\ds\int_a^b \dfrac{\partial f}{\partial x} (x,t) dt$.

C'est logique, non

PS : c'est sur un fermé $[a,b]$ que tu intègres : par de pb de convergence.


un lien

[MB]

Merci pour cette réponse rapide kojak ! :D

tu révises

J'essaye oui ! (je m'y prend la veille donc bon ..)

c'est sur un fermé $[a,b]$ que tu intègres : par de pb de convergence.

Justement, je pensais plutôt au cadre des intégrales impropres (donc avec une hypothèse de majoration).

Par ailleurs, on ne peut pas avoir des conditions un peu plus légères que $f$ continue sur $I \times [a,b]$ ?

[kojak]

Par ailleurs, on ne peut pas avoir des conditions un peu plus légères que $f$ continue sur $I \times [a,b]$ ?

Seulement intégrable tu veux dire ? pour l'existence OK, mais le pb va alors se poser pour la continuité.

Pour intégrale impropre, j'ai trouvé un lien que j'ai mis dans mon premier message

C'est toujours pareil : c'est l'histoire de la convergence uniforme (voire normale si on peut) en fait.

PS : ça va pas tomber cette année, c'est tombé l'année dernière, tu te rappelles pas

[MB]

Par ailleurs, on ne peut pas avoir des conditions un peu plus légères que $f$ continue sur $I \times [a,b]$ ?

Seulement intégrable tu veux dire ? pour l'existence OK, mais le pb va alors se poser pour la continuité.

Non, quand même pas, je pensais plutôt à $x \mapsto f(x,t)$ continue sur $I$ pour tout $t \in [a,b]$ et $t \mapsto f(x,t)$ intégrable sur $[a,b]$ pour tout $x \in I$. Il me semblait qu'on avait surtout besoin de la continuité par rapport à $x$.

Pour intégrale impropre, j'ai trouvé un lien que j'ai mis dans mon premier message

Merci, c'est très bien ce lien (en plus je vois qu'il suppose juste que $t \mapsto f(x,t)$ est continue par morceaux).

[Valvino]

Dans le Monier MP :

On prend $I$ un intervalle non trivial de $\R$, $A$ une partie de $\R$.

On dit qu'une fonction $f:A \times I \to \C$ vérifie l'hypothèse de domination locale (HDL) sur $A \times I$ si pour tout compact $K \subset A$, il existe une application $\varphi_K : I \to A$ telle que
$$\forall (x,t) \in A \times I,\quad |f(x,t)| \leq \varphi_K(t).$$

Si $f(\cdot,t)$ est continue sur $A$ pour tout $t \in I$, si $f(x,\cdot)$ est continue par morceaux sur $I$ pour tout $x \in A$ et si $f$ vérifie l'HDL sur $A \times I$, alors pour tout $x \in A$, la fonction $f(x,\cdot)$ est intégrable sur $I$ et la fonction $x \mapsto \int_I f(x,t) dt$ est continue sur $A$.

Si $f(x,\cdot)$ est intégrable sur $I$ pour tout $x \in A$, si $\partial_x f$ existe sur $A \times I$, si $\partial_x f(\cdot,t)$ est continue sur $A$ pour tout $t \in I$, si $\partial_x f(x,\cdot)$ est continue par morceaux sur $I$ pour tout $x \in A$ et si $\partial_x f$ vérifie l'HDL sur $A \times I$, alors pour tout $x \in A$ la fonction $\partial_x f(x,\cdot)$ est intégrable sur $I$ et la fonction $F:x \mapsto \int_I f(x,t) dt$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $A$. Dans ce cas, on a

$$\forall x \in A,\ F'(x)= \ds\int_I (\partial_x f)(x,t) dt.$$

[MB]

Merci pour cette réponse Valvino.

On dit qu'une fonction $f:A \times I \to \C$ vérifie l'hypothèse de domination locale (HDL) sur $A \times I$ si pour tout compact $K \subset A$, il existe une application $\varphi_K : I \to A$ telle que
$$\forall (x,t) \in A \times I,\quad |f(x,t)| \leq \varphi_K(t).$$

Il n'est pas précisé que $\varphi_K$ doit être intégrable sur $I$ ?
Et $\varphi_K$ ne devrait pas être à valeurs dans $\R^+$ plutôt que dans $A$ ?

En tous cas, on retrouve que $f(x,\cdot)$ doit être continue par morceaux sur $I$ pour tout $x \in A$ (comme dans le lien indiqué par kojak).

[Valvino]

Oui bien sûr $\varphi_K$ est positive et intégrable sur $I$, j'ai oublié de le préciser