Des démonstrations du théorème de Pythagore

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projetmbc
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Des démonstrations du théorème de Pythagore

Message par projetmbc »

Bonjour,
je cherche diverses façons de démontrer le théorème de Pythagore. Voici des liens que j'ai trouvé sur Google :
En avez-vous d'autres à proposer ?

Valvino
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Re: Des démonstrations du théorème de Pythagore

Message par Valvino »

Je me suis penché sur la question à un moment pour faire un article sur mon blog, mais je me suis vite rendu compte d'un problème (qui est d'ailleurs extensible à toute la géométrie euclidienne classique que l'on voit au collège).

Démontrer le théorème de Pythagore, ok; mais à à partir de quoi? Les mathématiques modernes sont une suite de déduction logique d'axiomes (bien sûr elles sont plus que ça au niveau conceptuel...). La plupart des démonstrations qui se trouvent sur la toile utilisent des faits assez peu triviaux (en tout cas aussi peu triviaux que le théorème de Pythagore) comme la somme des angles fait 180°, les aires sont conservées par translation/rotation, etc... Le problème c'est qu'elles passent sous silence ce genre de présupposé!

Cela vient peut être du fait qu'il semble moins nécessaire d'axiomatiser la géométrie euclidienne que le reste (algèbre, probabilité, analyse, etc...). Le problème du cinquième postulat d'Euclide vient quand même sérieusement jeter un doute sur toutes ces démos!

Ca m'intéresserait beaucoup de connaitre une référence où l'on partirait d'une axiomatique sérieuse (celle d'Hilbert par exemple) pour arriver au théorème de Pythagore.

rebouxo
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Re: Des démonstrations du théorème de Pythagore

Message par rebouxo »

Si il faut l'axiomatique de Hilbert pour démontrer le théorème de Pythagore, on ne va pas faire grand chose. :D
Il me semble qu'une démonstration à l'aide de puzzle et meilleur que pas de preuve du tout au collège.
Et que l'on pourra se poser des questions sur l'axiomatique quand on fera de l'axiomatique, ce qui n'est pas le cas dans l'enseignement secondaire (et dans le supérieur non plus d'ailleurs).
Démontrer le théorème de Pythagore, ok; mais à à partir de quoi? Les mathématiques modernes sont une suite de déduction logique d'axiomes (bien sûr elles sont plus que ça au niveau conceptuel...). La plupart des démonstrations qui se trouvent sur la toile utilisent des faits assez peu triviaux (en tout cas aussi peu triviaux que le théorème de Pythagore) comme la somme des angles fait 180°, les aires sont conservées par translation/rotation, etc... Le problème c'est qu'elles passent sous silence ce genre de présupposé!
Je réagis sur mathématique moderne : on ne peut pas construire des mathématiques à la fois logiquement développées et compréhensibles pour une initiation. Depuis le XVIIIe siècle, on sait que les éléments d'Euclide ne sont pas un bon modèle pour enseigner les maths. Le XXe siècle s'en aussi aperçu. On ne peut pas tout dire dès la première fois. La conservation de l'aire par les déplacements est quand même plus évidente que le théorème de Pythagore ! Au passage, chez Euclide, la prop. 47 arrive après la démonstration que des triangles qui ont la même base et entre deux parallèles ont la même aire. Je pense que les Grecs avaient bien compris qu'il y avait là une difficulté, car Euclide essaye de s'en passer le plus possible. Si tu as déjà vu la preuve d'Euclide, on ne fait pas (directement) appelle à des comparaisons d'aire par les déplacements (ce qui ne veut pas dire qu'Euclide n'est pas obligé d'en parler... pour la démonstration des cas d'égalité des triangles).

Bref, il faut savoir à quel type de public on s'adresse...

@projectmbc : je sais qu'il y a un livre qui regroupe dans les 300 démo de Pythagore, par contre je ne connais pas l'auteur, ni l'éditeur, ni l'année (c'est pas très jeune). Dans un Irem tu trouveras cela je pense.
Olivier
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Valvino
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Re: Des démonstrations du théorème de Pythagore

Message par Valvino »

Attention, je n'ai pas dit qu'il fallait faire de l'axiomatique au collège. Je disais juste que d'un strict point de vue mathématique, les démonstrations en géométrie euclidienne que l'on trouve sur le net sont un joyeux bordel :wink:

Si c'est pour trouver une démonstration accessible, wikipédia en fournit quelques unes satisfaisantes! J'ai peut être dévié du sujet initial, désolé :oops:

rebouxo
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Re: Des démonstrations du théorème de Pythagore

Message par rebouxo »

Valvino a écrit :Attention, je n'ai pas dit qu'il fallait faire de l'axiomatique au collège. Je disais juste que d'un strict point de vue mathématique, les démonstrations en géométrie euclidienne que l'on trouve sur le net sont un joyeux bordel :wink:

Si c'est pour trouver une démonstration accessible, wikipédia en fournit quelques unes satisfaisantes! J'ai peut être dévié du sujet initial, désolé :oops:
C'est peut-être moi qui ait mal compris :D . Il me semblait que tu t'enflammer un peu vite. On est bien d'accord que l'on trouve (même chez Euclide) des entendus... Sur internet, il faut voir à qui s'adresse les preuves. Celles en ac-trucmuche, c'est clairement pour des élèves du secondaire.

Olivier
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projetmbc
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Re: Des démonstrations du théorème de Pythagore

Message par projetmbc »

Je cherche des démonstrations de niveau Lycée. Pour ce qui est de la rigueur, là je sais que cela se complique. De plus, avant d'enseigner, je m'étais arrêté à la géométrie euclidienne pour laquelle le théorème de Pythagore est juste une définition de l'orthogonalité.

Sinon pour le bouquin, si quelqu'un a une référence...

Tonn83
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Re: Des démonstrations du théorème de Pythagore

Message par Tonn83 »

Valvino a écrit :Démontrer le théorème de Pythagore, ok; mais à à partir de quoi?
En général, de deux principes de base en géométrie élémentaire : la définition de l'aire, l'additivité des aires et l'invariance des aires par isométries. Les plus belles preuves géométriques du théorème de Pythagore utilisent des découpages de polyhèdres, des puzzles, pour reprendre la métaphore de Rebouxo. Les pièces qui interviennent sont souvent des rectangles et des triangles. Quand on se limite aux seuls triangles droits (ce qui peut suffire ici), les prérequis peuvent être établis.
  • Définition des aires: L'aire d'un rectangle est le produit de ses longueurs. L'aire d'un triangle droit est la moitié du produit des longueurs adjacents à l'angle droit.
  • Invariance par isométrie: Les isométries préservent l'orthogonalité et les longueurs (définition) donc les aires qui ont été définies comme des produits de longueurs.
  • Additivité des aires: Quand on juxtapose des /rectangles/triangles droits/ pour former un /rectangle/triangle droit/, les aires s'ajoutent. Les choses se corsent ici.
Pour des rectangles découpés en rectangles, c'est faisable an appliquant intelligemment les identités remarquables, au programme du lycée. Mais cela nécessite éventuellement une récurrence (les raisonnements par récurrence sont-ils à la portée des lycéens?) Laissé à votre réflexion. :roll: Si des triangles droits interviennent dans le découpage, je crains fort que l'additivité des aires soit équivalente au ... théorème de Pythagore. :shock: :lol: Ou presque ... ou pas du tout si on connait les séries infinies, et qu'on s'accorde le droit de faire des découpages infinis (voir plus bas).
projetmbc a écrit :Je cherche des démonstrations de niveau Lycée.
Soit ABCD un carré de côté c. On construit les triangles droits intérieurs $ABE$, $BCF$, $CDG$ et $DAH$, avec $AE=a$ et $EB=b$. La figure est invariante par rotation. Tous les triangles droits sont de mêmes dimension, donc de même aire ab/2, il y en a quatre. Au centre de la figure apparait un carré de coté $(b-a)$ (si $b>a$), donc d'aire $(b-a)^2$. L'additivité des aires s'écrit ici
$c^2=2ab+(a-b)^2$ ou encore $c^2=a^2+b^2.$

Mais comment établir l'additivité des aires au moins dans cette figure en particulier.
projetmbc a écrit :Je cherche des démonstrations de niveau Lycée.
Un rectangle peut être décomposé en deux triangles droits, et comme $ab=2(ab/2)$, l'additivité des aires est dans ce cas évidente. :roll: Dans la figure précédente, on projette orthogonalement E et H sur le segment [AB] pour obtenir des points M et N, et on projette G sur [EN] pour obtenir U. On trace les segments [GU], [EM] et [HN]. On reproduit la construction dans les trois autres triangles droits. On a fait apparaitre de la sorte un carré UVWX aux côtés parralèlles à ceux de ABCD (il est vivement conseillé de faire un dessin). A l'intérieur de UVWX, on reconnait le même type de figure. On réitère la construction indéfiniment. Faire deux ou trois itérations avec un logiciel de dessin, par exemple CaR, pour comprendre ou cela peut vous emmener.
projetmbc a écrit :Je cherche des démonstrations de niveau Lycée.
:shock: Meuh oui, c'est du programme du lycée. Il suffit de connaitre les séries géométriques. Les lycéens connaissent bien les séries géométriques. :twisted: Et au moins, là on voit bien ce qu'elles ont de géométrique ces séries. Le fil mérite d'être continué.
Tonn83

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Re: Des démonstrations du théorème de Pythagore

Message par projetmbc »

Tonn83 a écrit :les raisonnements par récurrence sont-ils à la portée des lycéens ?
En faisant de la langue de bois, je dirais qu'ils sont au programme...
Tonn83 a écrit ::shock: Meuh oui, c'est du programme du lycée. Il suffit de connaitre les séries géométriques. Les lycéens connaissent bien les séries géométriques.
Pas tous...

Je n'ai pas le temps ce week-end pour faire le dessin, mais je vais regarder avec attention ce que tu proposes pour voir si cela est acceptable.

Sinon le coup des puzzles, ce n'est pas si mal que cela car en ayant une géométrie "concrète", cela nous permet d'avoir le meilleur modèle possible en math.

Au passage, si quelqu'un une référence d'un bouquin ou d'un cours sur la géométrie vue du côté axiomatique je suis preneur.

plop08
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Re: Des démonstrations du théorème de Pythagore

Message par plop08 »

alors ça vaut ce que ça vaut, mais avec mes CAP, j'avais "démontré" avec Geogebra :

http://www.geogebra.at/en/upload/files/ ... agore.html

à voir aussi les deux autres démonstrations qui sont là :

http://www.geogebra.org/en/wiki/index.php/Secondaire_3

pour les plus réfractaires je leur ai fait faire du découpage...

kojak
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Re: Des démonstrations du théorème de Pythagore

Message par kojak »

bonjour,

qques précisions :
Tonn83 a écrit :Mais cela nécessite éventuellement une récurrence (les raisonnements par récurrence sont-ils à la portée des lycéens?)
C'est seulement au programme de terminale S. :wink:
Pas d'aide par MP.

projetmbc
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Re: Des démonstrations du théorème de Pythagore

Message par projetmbc »

plop08 a écrit :alors ça vaut ce que ça vaut, mais avec mes CAP, j'avais "démontré" avec Geogebra :

http://www.geogebra.at/en/upload/files/ ... agore.html
Je l'aime bien cette figure.
J'aime beaucoup la figure qui déforme les carrés en parallélogrammes puis en rectangles.

Merci.

PS : toujours pas de livre sur la géométrie axiomatique à proposer...

Mikelenain
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Re: Des démonstrations du théorème de Pythagore

Message par Mikelenain »

kojak a écrit :bonjour,

qques précisions :
Tonn83 a écrit :Mais cela nécessite éventuellement une récurrence (les raisonnements par récurrence sont-ils à la portée des lycéens?)
C'est seulement au programme de terminale S. :wink:
term ES également (en option maths)
"L'ignorance n'est pas ne pas connaître, c'est ne pas vouloir connaître."

Une ch'tio peu d'pub :Ina-Ich

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plop08
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Re: Des démonstrations du théorème de Pythagore

Message par plop08 »

mais de rien :)

mes CAP ont apprécié aussi ! (beaucoup moins les calculs... mais bon ça je m'en doutais)

projetmbc
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Re: Des démonstrations du théorème de Pythagore

Message par projetmbc »

Cela me surprend... :D

mateo_13
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Re: Des démonstrations du théorème de Pythagore

Message par mateo_13 »

Bonjour Valvino (et tous les autres),
Ca m'intéresserait beaucoup de connaitre une référence où l'on partirait d'une axiomatique sérieuse (celle d'Hilbert par exemple) pour arriver au théorème de Pythagore.
Il se trouve qu'il vient d'en être publiée une,
4 ans après votre discussion :
http://mathemagique-com.blogspot.fr/201 ... us-le.html

Amicalement,
--
Mateo.
Une axiomatique de la géométrie de collège : http://www.mathemagique.com
Mateo.
Un livre original de cycle 4 :
http://mathemagique-com.blogspot.com/