Des démonstrations du théorème de Pythagore
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Des démonstrations du théorème de Pythagore
Bonjour,
je cherche diverses façons de démontrer le théorème de Pythagore. Voici des liens que j'ai trouvé sur Google :
En avez-vous d'autres à proposer ?
je cherche diverses façons de démontrer le théorème de Pythagore. Voici des liens que j'ai trouvé sur Google :
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Re: Des démonstrations du théorème de Pythagore
Je me suis penché sur la question à un moment pour faire un article sur mon blog, mais je me suis vite rendu compte d'un problème (qui est d'ailleurs extensible à toute la géométrie euclidienne classique que l'on voit au collège).
Démontrer le théorème de Pythagore, ok; mais à à partir de quoi? Les mathématiques modernes sont une suite de déduction logique d'axiomes (bien sûr elles sont plus que ça au niveau conceptuel...). La plupart des démonstrations qui se trouvent sur la toile utilisent des faits assez peu triviaux (en tout cas aussi peu triviaux que le théorème de Pythagore) comme la somme des angles fait 180°, les aires sont conservées par translation/rotation, etc... Le problème c'est qu'elles passent sous silence ce genre de présupposé!
Cela vient peut être du fait qu'il semble moins nécessaire d'axiomatiser la géométrie euclidienne que le reste (algèbre, probabilité, analyse, etc...). Le problème du cinquième postulat d'Euclide vient quand même sérieusement jeter un doute sur toutes ces démos!
Ca m'intéresserait beaucoup de connaitre une référence où l'on partirait d'une axiomatique sérieuse (celle d'Hilbert par exemple) pour arriver au théorème de Pythagore.
Démontrer le théorème de Pythagore, ok; mais à à partir de quoi? Les mathématiques modernes sont une suite de déduction logique d'axiomes (bien sûr elles sont plus que ça au niveau conceptuel...). La plupart des démonstrations qui se trouvent sur la toile utilisent des faits assez peu triviaux (en tout cas aussi peu triviaux que le théorème de Pythagore) comme la somme des angles fait 180°, les aires sont conservées par translation/rotation, etc... Le problème c'est qu'elles passent sous silence ce genre de présupposé!
Cela vient peut être du fait qu'il semble moins nécessaire d'axiomatiser la géométrie euclidienne que le reste (algèbre, probabilité, analyse, etc...). Le problème du cinquième postulat d'Euclide vient quand même sérieusement jeter un doute sur toutes ces démos!
Ca m'intéresserait beaucoup de connaitre une référence où l'on partirait d'une axiomatique sérieuse (celle d'Hilbert par exemple) pour arriver au théorème de Pythagore.
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Re: Des démonstrations du théorème de Pythagore
Si il faut l'axiomatique de Hilbert pour démontrer le théorème de Pythagore, on ne va pas faire grand chose. :D
Il me semble qu'une démonstration à l'aide de puzzle et meilleur que pas de preuve du tout au collège.
Et que l'on pourra se poser des questions sur l'axiomatique quand on fera de l'axiomatique, ce qui n'est pas le cas dans l'enseignement secondaire (et dans le supérieur non plus d'ailleurs).
Bref, il faut savoir à quel type de public on s'adresse...
@projectmbc : je sais qu'il y a un livre qui regroupe dans les 300 démo de Pythagore, par contre je ne connais pas l'auteur, ni l'éditeur, ni l'année (c'est pas très jeune). Dans un Irem tu trouveras cela je pense.
Olivier
Il me semble qu'une démonstration à l'aide de puzzle et meilleur que pas de preuve du tout au collège.
Et que l'on pourra se poser des questions sur l'axiomatique quand on fera de l'axiomatique, ce qui n'est pas le cas dans l'enseignement secondaire (et dans le supérieur non plus d'ailleurs).
Je réagis sur mathématique moderne : on ne peut pas construire des mathématiques à la fois logiquement développées et compréhensibles pour une initiation. Depuis le XVIIIe siècle, on sait que les éléments d'Euclide ne sont pas un bon modèle pour enseigner les maths. Le XXe siècle s'en aussi aperçu. On ne peut pas tout dire dès la première fois. La conservation de l'aire par les déplacements est quand même plus évidente que le théorème de Pythagore ! Au passage, chez Euclide, la prop. 47 arrive après la démonstration que des triangles qui ont la même base et entre deux parallèles ont la même aire. Je pense que les Grecs avaient bien compris qu'il y avait là une difficulté, car Euclide essaye de s'en passer le plus possible. Si tu as déjà vu la preuve d'Euclide, on ne fait pas (directement) appelle à des comparaisons d'aire par les déplacements (ce qui ne veut pas dire qu'Euclide n'est pas obligé d'en parler... pour la démonstration des cas d'égalité des triangles).Démontrer le théorème de Pythagore, ok; mais à à partir de quoi? Les mathématiques modernes sont une suite de déduction logique d'axiomes (bien sûr elles sont plus que ça au niveau conceptuel...). La plupart des démonstrations qui se trouvent sur la toile utilisent des faits assez peu triviaux (en tout cas aussi peu triviaux que le théorème de Pythagore) comme la somme des angles fait 180°, les aires sont conservées par translation/rotation, etc... Le problème c'est qu'elles passent sous silence ce genre de présupposé!
Bref, il faut savoir à quel type de public on s'adresse...
@projectmbc : je sais qu'il y a un livre qui regroupe dans les 300 démo de Pythagore, par contre je ne connais pas l'auteur, ni l'éditeur, ni l'année (c'est pas très jeune). Dans un Irem tu trouveras cela je pense.
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Re: Des démonstrations du théorème de Pythagore
Attention, je n'ai pas dit qu'il fallait faire de l'axiomatique au collège. Je disais juste que d'un strict point de vue mathématique, les démonstrations en géométrie euclidienne que l'on trouve sur le net sont un joyeux bordel
Si c'est pour trouver une démonstration accessible, wikipédia en fournit quelques unes satisfaisantes! J'ai peut être dévié du sujet initial, désolé
Si c'est pour trouver une démonstration accessible, wikipédia en fournit quelques unes satisfaisantes! J'ai peut être dévié du sujet initial, désolé
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Re: Des démonstrations du théorème de Pythagore
C'est peut-être moi qui ait mal compris :D . Il me semblait que tu t'enflammer un peu vite. On est bien d'accord que l'on trouve (même chez Euclide) des entendus... Sur internet, il faut voir à qui s'adresse les preuves. Celles en ac-trucmuche, c'est clairement pour des élèves du secondaire.Valvino a écrit :Attention, je n'ai pas dit qu'il fallait faire de l'axiomatique au collège. Je disais juste que d'un strict point de vue mathématique, les démonstrations en géométrie euclidienne que l'on trouve sur le net sont un joyeux bordel
Si c'est pour trouver une démonstration accessible, wikipédia en fournit quelques unes satisfaisantes! J'ai peut être dévié du sujet initial, désolé
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Re: Des démonstrations du théorème de Pythagore
Je cherche des démonstrations de niveau Lycée. Pour ce qui est de la rigueur, là je sais que cela se complique. De plus, avant d'enseigner, je m'étais arrêté à la géométrie euclidienne pour laquelle le théorème de Pythagore est juste une définition de l'orthogonalité.
Sinon pour le bouquin, si quelqu'un a une référence...
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Re: Des démonstrations du théorème de Pythagore
En général, de deux principes de base en géométrie élémentaire : la définition de l'aire, l'additivité des aires et l'invariance des aires par isométries. Les plus belles preuves géométriques du théorème de Pythagore utilisent des découpages de polyhèdres, des puzzles, pour reprendre la métaphore de Rebouxo. Les pièces qui interviennent sont souvent des rectangles et des triangles. Quand on se limite aux seuls triangles droits (ce qui peut suffire ici), les prérequis peuvent être établis.Valvino a écrit :Démontrer le théorème de Pythagore, ok; mais à à partir de quoi?
- Définition des aires: L'aire d'un rectangle est le produit de ses longueurs. L'aire d'un triangle droit est la moitié du produit des longueurs adjacents à l'angle droit.
- Invariance par isométrie: Les isométries préservent l'orthogonalité et les longueurs (définition) donc les aires qui ont été définies comme des produits de longueurs.
- Additivité des aires: Quand on juxtapose des /rectangles/triangles droits/ pour former un /rectangle/triangle droit/, les aires s'ajoutent. Les choses se corsent ici.
Soit ABCD un carré de côté c. On construit les triangles droits intérieurs $ABE$, $BCF$, $CDG$ et $DAH$, avec $AE=a$ et $EB=b$. La figure est invariante par rotation. Tous les triangles droits sont de mêmes dimension, donc de même aire ab/2, il y en a quatre. Au centre de la figure apparait un carré de coté $(b-a)$ (si $b>a$), donc d'aire $(b-a)^2$. L'additivité des aires s'écrit iciprojetmbc a écrit :Je cherche des démonstrations de niveau Lycée.
$c^2=2ab+(a-b)^2$ ou encore $c^2=a^2+b^2.$
Mais comment établir l'additivité des aires au moins dans cette figure en particulier.
Un rectangle peut être décomposé en deux triangles droits, et comme $ab=2(ab/2)$, l'additivité des aires est dans ce cas évidente. Dans la figure précédente, on projette orthogonalement E et H sur le segment [AB] pour obtenir des points M et N, et on projette G sur [EN] pour obtenir U. On trace les segments [GU], [EM] et [HN]. On reproduit la construction dans les trois autres triangles droits. On a fait apparaitre de la sorte un carré UVWX aux côtés parralèlles à ceux de ABCD (il est vivement conseillé de faire un dessin). A l'intérieur de UVWX, on reconnait le même type de figure. On réitère la construction indéfiniment. Faire deux ou trois itérations avec un logiciel de dessin, par exemple CaR, pour comprendre ou cela peut vous emmener.projetmbc a écrit :Je cherche des démonstrations de niveau Lycée.
Meuh oui, c'est du programme du lycée. Il suffit de connaitre les séries géométriques. Les lycéens connaissent bien les séries géométriques. Et au moins, là on voit bien ce qu'elles ont de géométrique ces séries. Le fil mérite d'être continué.projetmbc a écrit :Je cherche des démonstrations de niveau Lycée.
Tonn83
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Re: Des démonstrations du théorème de Pythagore
En faisant de la langue de bois, je dirais qu'ils sont au programme...Tonn83 a écrit :les raisonnements par récurrence sont-ils à la portée des lycéens ?
Pas tous...Tonn83 a écrit : Meuh oui, c'est du programme du lycée. Il suffit de connaitre les séries géométriques. Les lycéens connaissent bien les séries géométriques.
Je n'ai pas le temps ce week-end pour faire le dessin, mais je vais regarder avec attention ce que tu proposes pour voir si cela est acceptable.
Sinon le coup des puzzles, ce n'est pas si mal que cela car en ayant une géométrie "concrète", cela nous permet d'avoir le meilleur modèle possible en math.
Au passage, si quelqu'un une référence d'un bouquin ou d'un cours sur la géométrie vue du côté axiomatique je suis preneur.
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Re: Des démonstrations du théorème de Pythagore
alors ça vaut ce que ça vaut, mais avec mes CAP, j'avais "démontré" avec Geogebra :
http://www.geogebra.at/en/upload/files/ ... agore.html
à voir aussi les deux autres démonstrations qui sont là :
http://www.geogebra.org/en/wiki/index.php/Secondaire_3
pour les plus réfractaires je leur ai fait faire du découpage...
http://www.geogebra.at/en/upload/files/ ... agore.html
à voir aussi les deux autres démonstrations qui sont là :
http://www.geogebra.org/en/wiki/index.php/Secondaire_3
pour les plus réfractaires je leur ai fait faire du découpage...
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Re: Des démonstrations du théorème de Pythagore
bonjour,
qques précisions :
qques précisions :
C'est seulement au programme de terminale S.Tonn83 a écrit :Mais cela nécessite éventuellement une récurrence (les raisonnements par récurrence sont-ils à la portée des lycéens?)
Pas d'aide par MP.
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Re: Des démonstrations du théorème de Pythagore
Je l'aime bien cette figure.plop08 a écrit :alors ça vaut ce que ça vaut, mais avec mes CAP, j'avais "démontré" avec Geogebra :
http://www.geogebra.at/en/upload/files/ ... agore.html
J'aime beaucoup la figure qui déforme les carrés en parallélogrammes puis en rectangles.plop08 a écrit :http://www.geogebra.org/en/wiki/index.php/Secondaire_3
Merci.
PS : toujours pas de livre sur la géométrie axiomatique à proposer...
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Re: Des démonstrations du théorème de Pythagore
term ES également (en option maths)kojak a écrit :bonjour,
qques précisions :
C'est seulement au programme de terminale S.Tonn83 a écrit :Mais cela nécessite éventuellement une récurrence (les raisonnements par récurrence sont-ils à la portée des lycéens?)
"L'ignorance n'est pas ne pas connaître, c'est ne pas vouloir connaître."
Une ch'tio peu d'pub :Ina-Ich
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Re: Des démonstrations du théorème de Pythagore
mais de rien :)
mes CAP ont apprécié aussi ! (beaucoup moins les calculs... mais bon ça je m'en doutais)
mes CAP ont apprécié aussi ! (beaucoup moins les calculs... mais bon ça je m'en doutais)
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Re: Des démonstrations du théorème de Pythagore
Cela me surprend... :D