Démonstration 1+1=3

[Erich]

Bonsoir

Je me souviens, au cours de ma scolarité, qu'un professeur avait réussi en se basant sur des hypothèses en apparence pas idiotes, à nous démontrer que 1+1=3 au quelque chose du même acabit.
Même si celà sort du domaine direct des mathématiques, j'aimerais retrouver cette démonstration, avec bien sûr ses prémices...
Quelqu'un peut-il m'aider ?

Merci

[Mikelenain]

1+1=0
il faut travailler dans un ensemble E avec deux opérations (le + et le x dont les réponses sont dans E ... je ne me rappelle plus le qualificatif qu'il faut donner alors) et deux éléments dont l'un est le neutre pour l'addition et l'autre est le neutre pour la multiplication.
Le premier élément est 0 et le second est 1.
Quand tu fais 1+1, le résultat est dans E (par définition des opérations). Comme 1 n'est pas le neutre de +, le résultat est forcément 0 :
1+1=0 :)

[fp]

Heu, Erich demandait 1+1=3, pas 1+1=0.
1+1=0 est vrai dans $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ muni des opérations classiques.

FP.

[Erich]

Quand je disais 1+1=3, c'était a titre d'exemple! tout résultat différent de 2 peut convenir, donc 0 en l'occurrence.
Sachant que ce prof nous l'a démontré a l'époque ou j'étais en 2nde C donc on avait un bagage en maths pas forcément très élevé (pour peu qu'il est gonflé depuis : je ne suis pas un mathématicien, même si j'ai toujours adoré cette matière tout au long de ma scolarité, à la grande incompréhension de la plupart de mes camarades).
Donc, si je résume bien : il faut comme hypothèse que le résultat de l'addition est forcément compris dans l'ensemble constitué par les deux éléments neutres. ça suppose donc que deux résultats seulement possible a chaque opération. Evidemment pour le calcul binaire c'est pratique!

[Mikelenain]

FP>> désolé, je ne connaissais que 1+1=0. Et comme il a dit "quelque chose du même acabit" ...

[projetmbc]

Peut-être penses-tu à une fausse démonstration... Non ?

[fp]

Voici une pseudo-"démonstration" de "3=0" :

Soit l'équation à résoudre : $\left\{\begin{array}{l}x\in\mathbb{R}\\ x^2+x+1=0\end{array}\right.$

$0$ n'est clairement pas solution de cette équation, donc cette équation est équivalente à :
$$\left\{\begin{array}{l}x\in\mathbb{R}\smallsetminus\{0\}\\ x^3+x^2+x=0\end{array}\right.$$

Mais comme, d'après la première équation, $x^2+x=-1$, la deuxième équation est équivalente à :
$$\left\{\begin{array}{l}x\in\mathbb{R}\smallsetminus\{0\}\\ x^3-1=0\end{array}\right.$$
ou encore :
$$\left\{\begin{array}{l}x\in\mathbb{R}\smallsetminus\{0\}\\ x^3=1\end{array}\right.$$
Cette dernière équation, dans $\mathbb{R}\smallsetminus\{0\}$, a une et une seule solution, qui est $x=1$.

Comme nous avons raisonné par équivalence, $x=1$ est donc solution de l'équation de départ, ce qui nous donne :
$$1^2+1+1=0$$
soit :
$$3=0$$

CQFD :D

FP.

[rebouxo]

On prend un 1 homme un femme, on attend 9 mois... :D ça peut faire 3.

Olivier

[Erich]

On prend un 1 homme un femme, on attend 9 mois... :D ça peut faire 3.

Certes... Mais là ce n'est pas simpelement 1+1 , c'est :
1 homme
+ 1 femme
+ ils couchent ensemble sans moyen de contraception (et je fais abstraction de la période préliminaire généralement nécessaire)
+ elle est en période d'être inséminée
+ elle ne fait pas de fausse couche
+ 9 mois d'attente patiente
= le troisième élément!
Il y a donc beaucoup de facteurs additionnels à l'équation de base...

Dans le même ordre d'idée, le travail effectué par 200 hommes (ou femmes) en un jour n'est pas non plus égal à celui effectué par 1 homme (ou femme) en 200 jours...

La fausse démonstration ci-dessus me plait bien! C'est effectivement un bel exemple de "rideau de fumée" ... Mais ou est l'erreur ?
On prend l'équation (1), on la multiplie par x, puis on lui soustrait l'équation (1), et on en déduit le résultat 3 = 0. L'erreur de raisonnement serait de s'être permis cette combinaison linéaire (la soustraction) entre les 2 formes de l'équation, comme on le ferait pour la résolution d'un système de 2 équations a deux inconnues ?

[projetmbc]

Il n'y pas d'erreur jusqu'à $1^2+1+1=0$ si ce n'est que l'on raisonne par implication et non par équivalence. Du coup, le raisonnement nous dit juste que s'il y a une solution réelle, alors cela doit être un. Comme $1^2+1+1=0$ n'est pas vraie, il n'y a pas de solution réelle.

[projetmbc]

On prend un 1 homme un femme, on attend 9 mois... :D ça peut faire 3.

N'importe quoi ! Et les jumeaux ? Les triplés ?

[oleanet]

$$-1=(-1)^1=(-1)^{\frac 22}=(-1)^{2\times \frac12}=\sqrt{(-1)^2}=1$$

[Tonn83]

Pour tout entier $n$,

$n^2=n+n+n+\dots+n$ (somme de $n$ termes égaux à $n$)

En dérivant il vient

$2n=1+1+1+\dots+1=n$

Donc,

$2=1$

[Arnaud]

$$A=B$$
$$A^2=B^2$$
$$A^2-B^2=(A-B)(A+B)$$
$$A^2-AB=(A-B)(A+B)$$
$$A(A-B)=(A-B)(A+B)$$
$$A=A+B$$
$$A=2A$$
$$1=2$$

[Framboise]

On a également:
1 + 1 = 10
et ce n'est pas faux.
Explication:
Grossir =>[ en binaire... ]

[Mikelenain]

ce qui est marrant, c'est de trouver les failles dans les raisonnements de certains (comme celui d'arnaud qui est un classique)

je bloque sur celui de Tonn83

[MB]

je bloque sur celui de Tonn83

Il semblerait que la fonction $n \mapsto n^2$ soit définie à la fois sur $\N$ et sur $\R$ alors que la fonction $n \mapsto n + \cdots + n \; (\text{n fois})$ n'est définie que sur $\N$ ce qui pose problème au niveau de la dérivée.

[Mikelenain]

la fonction $n \mapsto n + \cdots + n \; (\text{n fois})$ n'est définie que sur $\N$

Ok, je viens de comprendre pourquoi. ^^

[tehessin]

Voir aussi la page 45 de ce document :

http://download.tuxfamily.org/tehessinm ... PolyTs.pdf

[stokastik]

Heu, Erich demandait 1+1=3, pas 1+1=0.

Une fois qu'on a une égalité à la fois fausse et vraie, on a tout qui est faux et vrai.

Ici : si 2=3 alors en enlevant 2 dans chaque membre on obtient 0=1, et en multipliant par 2 on obtient 0=2.