Démonstration 1+1=3

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Tonn83
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Re: Démonstration 1+1=3

Message non lu par Tonn83 »

stokastik a écrit :Une fois qu'on a une égalité à la fois fausse et vraie, on a tout qui est faux et vrai.
Non. le fait qu'une assertion soit à la fois vraie et fausse entraine que tous les énoncés mathématiques soient à la fois vrais et faux. On ne se prononce pas sur "tout", en particulier, on ne se prononce pas sur l'existence de Dieu, sur le pourquoi du comment de l'univers, ou sur la nature du Big Bang (si autant soit peu qu'il y en ait eu au moins un). :mrgreen:
Tonn83
stokastik

Re: Démonstration 1+1=3

Message non lu par stokastik »

Ah bon...
Garulfo

Re: Démonstration 1+1=3

Message non lu par Garulfo »

stokastik a écrit :
fp a écrit :Heu, Erich demandait 1+1=3, pas 1+1=0.
Une fois qu'on a une égalité à la fois fausse et vraie, on a tout qui est faux et vrai.
Ici : si 2=3 alors en enlevant 2 dans chaque membre on obtient 0=1, et en multipliant par 2 on obtient 0=2.
Sans revenir sur la précision de Tonn83 — qui a raison soit dit en passant : le principe du « tout vrai » dû à l'incohérence ne s'applique qu'au des systèmes formels — j'aimerais aussi te faire remarquer qu'il y a quelques problèmes dans ton raisonnement. D'abord si 2=3 alors, effectivement 0=1 et donc tout nombre est égal à tout nombre (enfin en partant pour principe qu'ils sont construits par successeur). Cependant, si tu démontres que 2=0, tu ne peux que dire qu'il y a au plus deux nombres dans ton système. Mais tu ne peux pas à partir de ça uniquement démontrer que 2=3. Tu le fais car tu introduis deux erreurs dans ton raisonnement. Dire que 1=0 ce n'est pas démontrer quelque chose de faux. L'axiome 1=0 est un axiome indépendant de l'arithmétique de Peano. On pourrait donc avoir des modèles qui le vérifie. La propriété serait donc vraie. On ne pourrait pas alors démontrer sa négation puisque l'arithmétique de Peano est cohérente (Gentzen 1936). De plus, fait bien attention à la distinction vérité/prouvabilité. On ne peut pas avoir une égalité vraie et fausse en même temps. Ça n'existe pas. Dans un modèle, les projections des formules de logique sont soit vraie, soit fausse. Par contre, on peut démontrer, si la théorie est incohérente, que les énoncés sont démontrables et que leurs négations l'est aussi. C'est d'ailleurs pouquoi ils n'ont alors pas de modèle ! Car s'ils avaient un modèle, alors il y aurait des propositions qui seraient vraies et fausses dans le modèle, puisque la logique est saine (soundess). Or c'est impossible.

Suis-tu mon raisonnement ? Ce qu'à apporter Gödel, c'est un résultat sur la distinction prouvabilité/vérité des énoncés. On peut avoir un énoncé vraie mais qui n'est pas prouvable pour toute théorie qui contient l'arithmétique de Peano (incomplétude/inconsistency); toute théorie cohérente possède un modèle (complétude/consistency — oui je sais c'est mêlant); une théorie incohérente n'a pas de modèle (sanité/soundness). Bien sûr ceci est dans la logique du 1er ordre. La logique propositionnelle est complète (tout énoncé vraie a une démonstration).

Des questions ? ;)
Christian Vassard

Re: Démonstration 1+1=3

Message non lu par Christian Vassard »

Tout à fait d'accord.
J'ajouterais, comme le dit A Delédicq, que si 2=1, comme le père Noël et moi, cela fait deux... je suis donc le père Noël.
Bien cordialement,
Christian
rebouxo
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Re: Démonstration 1+1=3

Message non lu par rebouxo »

Des questions ? ;)
Heu, non m'sieur, c'était très clair (glups, quelqu'un a une aspirine sur lui :D )

Olivier
A line is a point that went for a walk. Paul Klee.
Par solidarité, pas de MP.
stokastik

Re: Démonstration 1+1=3

Message non lu par stokastik »

Garulfo,

Je ne suis pas spécialiste en logique, peux-tu éclaircir ?

Voici ce qui se cachait derrière ma brève intervention. Je suis sur un forum de maths, alors sauf mention contraire je me place dans le "modèle mathématique usuel". Est-ce Zermelo, ou Zermelo-Fraenkel, je n'y connais rien, j'ai déjà vu vaguement ces axiomes et (encore plus vaguement) vu comment on construit $\mathbb{N}$ puis $\mathbb{R}$ à l'aide de ces axiomes.
Ce que j'entends par une "proposition vraie", c'est une proposition qu'on peut démontrer à partir des axiomes. Est-ce que ce n'est pas un vocabulaire correct pour un logicien, peut-être, mais en-dehors du domaine de la logique, c'est du langage courant en mathématiques. En ce sens, "P est vraie si P est une conséquence des axiomes" (mais là il y a pour moi un point pas clair : quand peut-on dire, précisément, qu'une proposition est une conséquence des axiomes ?)
La proposition "2=3" est alors fausse, au sens où la proposition "2 est différent de 3" est une conséquence des axiomes. Car je dis qu'une proposition est fausse si sa négation est vraie.
Il me semble alors qu'un principe de logique dit que si on arrive à prouver que "2=3", alors on peut prouver que toute proposition est vraie, et c'était cela le fond de ma pensée.

Effectivement dans tout ça, même si j'ai conscience que ce que j'appelle la vérité c'est plutôt la prouvabilité, je ne vois pas bien comment on distingue l'un et l'autre, et j'aimerais éclaircir ce point.
Garulfo

Re: Démonstration 1+1=3

Message non lu par Garulfo »

Christian Vassard a écrit :Tout à fait d'accord.
J'ajouterais, comme le dit A Delédicq, que si 2=1, comme le père Noël et moi, cela fait deux... je suis donc le père Noël.
Bien cordialement,
Christian
Cette « démonstration » vient de Bertrand Russell à qui on demandait des précisions sur le fait que « faux entraîne n'importe quoi » est vrai. Il a cependant utilisé « le pape et moi ça fait deux », mais, au final, on a la même chose.
Christian Vassard

Re: Démonstration 1+1=3

Message non lu par Christian Vassard »

Ah tiens, Delédicq ne le disait pas... ou alors j'ai oublié!
Christian
Garulfo

Re: Démonstration 1+1=3

Message non lu par Garulfo »

Christian Vassard a écrit :Ah tiens, Delédicq ne le disait pas... ou alors j'ai oublié!
Christian
Il le disait peut-être aussi :mrgreen:
stokastik a écrit : Je ne suis pas spécialiste en logique, peux-tu éclaircir ?
J'avais commencé hier une réponse mais je ne l'ai pas fini. Cependant je ne t'ai pas ignoré. Je la posterais une fois finie.
Garulfo

Re: Démonstration 1+1=3

Message non lu par Garulfo »

stokastik a écrit :Garulfo,
Je ne suis pas spécialiste en logique, peux-tu éclaircir ?
Bien entendu. Je vais essayer du moins. D'abord, j'aimerais te rassurer. Non seulement, cette distinction n'est pas évidente — il a quand même fallu attendre le XXe siècle pour en être « assurée » mais aussi pour pouvoir la définir de toute façon — mais en plus, je pense que de nombreux mathématiciens ne la font pas vraiment ; pas par incompétence bien sûr, mais juste parce qu'ils ne s'y sont jamais penchés.

Commençons d'abord par distinguer la théorie de la logique. La logique est l'ensemble de règle que tu utilises pour raisonner. Classiquement, les mathématiciens utilisent la logique des prédicats du 1er ordre, c'est-à-dire les connecteurs « simples » ($\Rightarrow$, $\wedge$, $\neg$, etc.) et les quantificateurs ($\forall$ et $\exists$) sur un seul univers de variables et de constantes (d'où le 1er ordre). Ceci permet d'écrire des propriétés. Ce n'est qu'une syntaxe vide de sens. C'est pourquoi on parlera de monde syntaxique ou, en général, de langage $\mathcal{L}$. On ajoute dans ces langages des symboles de fonctions et des symboles de relation. Il permet de raisonner à l'aide de règle précise qui donne des démonstrations. Ainsi on peut dire que « si j'ai que $A$ est vrai et que $B$ est vrai alors $A\wedge B$ est vrai » permet de démontrer $1=s 0\,\wedge\, s 0\in \N$ si j'ai $1 = s0$ et $s0\in \N$. Jusqu'ici tout va bien je suppose.

Une théorie est un ensemble d'axiome qui définisse dans mon langage un ensemble d'hypothèse purement formelle : c'est-à-dire sans sens, encore une fois, et uniquement syntaxique. De ces axiomes, on peut déduire par des raisonnements formels — que nous nommerons « preuves » — d'autres énoncés purement formels. On dit qu'un énoncé $\phi$ de la logique du premier ordre est prouvable dans $T$, s'il existe une suite finie d'énoncés de $T$ telle que le dernier de ces énoncés soit $\phi$ et que chaque énoncé de cette suite soit un axiome ou soit déductible des énoncés précédents grâce aux règles de déduction choisie. On note alors que $T\vdash \phi$.

Le langage et l'éventuelle théorie que j'utilise n'acquièrent de sens que lorsqu'ils sont projetés dans un modèle $\mathcal{M}$. Un modèle est un monde sémantique, c'est-à-dire porteur de sens. Quand je parle de projeter, je parle d'une fonction qui fait pointer chaque symbole de constante du langage sur une constante du modèle, chaque symbole de fonction du langage sur une fonction du modèle et chaque symbole de relation sur — vous l'aurez tous deviné — une relation du modèle. Les arités doivent bien sûr être respectées mais laissons ça. On a donc un monde qui permet de parler d'un monde chargé de sens. C'est un peu comme les mots de nos langues qui réfèrent à des objets du monde réel. On dit que le modèle $\mathcal{M}$ est un modèle de la théorie $T$ si tout axiome de $T$ est vrai dans le modèle $\mathcal{M}$.

Gödel a démontré que la logique du premier ordre est sain (sound), c'est-à-dire que si un énoncé $T\vdash \phi$ et si $\mathcal{M}\models T$, alors l'énoncé $\phi$ est vraie dans le modèle ($\mathcal{M}\models \phi$). On pourrait dire que c'est simplement du bon sens et que sans ça, la logique n'aurait aucun intérêt. Ça nous dit simplement que si on peut prouver une propriété alors elle est vraie ! Heureusement... Une question intéressante est la réciproque, à savoir si un énoncé $\phi$ est vraie dans un modèle, existe-t-il une démonstration formelle ? C'est ce qu'on appelle la complétude. Et là, la réponse est non (1er théorème d'incomplétude, Gödel, 1931). Soit une théorie qui contient l'arithmétique de Peano, il existe au moins un énoncé qui est vraie et qui pourtant n'a pas de preuve. Je reprécise ici que « preuve » veut dire « preuve formelle ». Car il existe bien sûr une forme de raisonnement qui permet de savoir que cette phrase est vraie. Mais ce n'est pas une preuve formelle.

C'est donc là bien ton erreur : vraie ne veut pas dire démontrable. Une proposition démontrable est forcément vraie, mais une proposition vraie n'est pas forcément démontrable (en logique du 1er ordre). Plus particulièrement, quand tu disais que si une proposition est à la fois vraie et fausse alors tout est vraie, est une erreur car dans un modèle — qui est donc un « vraie » monde mathématique, comme l'arithmétique, le corps $\R$ etc. — un énoncé ne peut être vrai et faux... par exemple, soit on a que $2 > 1$ soit on a que $\neg(2>1)$ mais on ne peut pas avoir les deux. Par contre, dans la théorie, si celle-ci est incohérente on a peut être une démonstration de ces deux énoncés. Il en est ainsi par exemple de la théorie qui les contient tous les deux en axiome. Cependant, une telle théorie n'aura JAMAIS de modèle. Et ça c'est un autre résultat de Gödel : une théorie est cohérente si et seulement si elle dispose d'au moins un modèle. Ce théorème est démontré entre autre avec le fait qu'un énoncé dans un modèle n'est jamais vrai et faux en même temps.

Bon maintenant, l'arithmétique de Peano permet de créer des modèles de l'arithmétique. Parmi ces modèles, il y a le modèle « classique » de $\N$. Mais il n'existe pas que $\N$ comme modèle de l'arithmétique de Peano. Par exemple, rien n'empêche d'avoir des modèles de l'arithmétique qui soit de cardinalité indénombrable (donc de cardinalité supérieur à $\N$). C'est un résultat du théorème de Löwenheim–Skolem. Donc même avec la même théorie, plusieurs modèles sont possibles. Par contre, j'ai fait une erreur. On a toujours que $1$ est différent de $0$, puisque dans l'arithmétique de Peano on a toujours que $0$ n'est pas un successeur (et $1$ est $s0$ c'est-à-dire le successeur de $0$). De là, $3\neq 2$ puisque la fonction successeur est injective -_- Menfinbon. Ça sort de la distinction vrai/prouvable.

Est-ce que c'est plus clair ?

Reprenons donc finalement ce petit passage de ton texte :
stokastik a écrit : La proposition "2=3" est alors fausse, au sens où la proposition "2 est différent de 3" est une conséquence des axiomes. (1)
Car je dis qu'une proposition est fausse si sa négation est vraie. (2)
Il me semble alors qu'un principe de logique dit que si on arrive à prouver que "2=3", alors on peut prouver que toute proposition est vraie, et c'était cela le fond de ma pensée. (3)
Ta première phrase est assez justifiée (1). Si on peut prouver que $\neg(2=3)$ alors il est vrai que $\neg(2=3)$, ce qui implique que $2=3$ est faux. Mais par contre, supposons que dans un modèle on ait que $\neg(2=3)$ soit vrai, il n'est pas sûr qu'on puisse prouver l'énoncé $\neg(2=3)$ ! Par contre, si $\neg(2=3)$, alors il est certain qu'on ne peut prouver $2=3$, car j'ai un modèle et donc ma théorie est cohérente. Si tu n'as pas de modèle, parler de vérité n'a pas de sens. Ce que tu peux dire c'est que si tu réussis dans ta théorie a démontrer que $\neg(2=3)$, alors si jamais tu pouvais démontrer que $2=3$, ta théorie serait incohérente et n'admettrait pas de modèle. Conclusion, n'importe quoi (exprimable dans une formule de logique du premier ordre avec le langage choisi) y serait démontrable.

Ton (2) est juste. Mais par contre, ce n'est pas vraie pour la notion de preuve... si tu n'as pas de modèle pour ta théorie.

Finalement pour (3), si tu peux prouver que $2=3$ dans une théorie qui contient l'axiomatisation de Peano, alors ta théorie est incohérente et n'a pas de modèle. Tu peux donc tout prouver, mais tu ne peux pas dire que ce soit vrai. La notion de vérité est restreinte au monde des modèles. Si tu as une théorie cohérente, c'est-à-dire qui a au moins un modèle, et qui contient l'axiomatisation de Peano, alors tu ne peux pas prouver que $2=3$ car ceci est faux dans le modèle.

J'espère avoir un peu éclairé la différence preuve/vérité.
rebouxo
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Re: Démonstration 1+1=3

Message non lu par rebouxo »

Pour moi c'est très clair. Si j'ai bien compris cela expliquerais la déraisonnable efficacité des maths : en se situant dans le modèle, on fait correspondre le monde de la logique avec le monde réel. Non ?

"Gödel, Escher et Bach", de D. Hoffstader. Un joli pavé de vulgarisation sur la logique, les systèmes formel (et accessoirement Bach et Escher). Assez lisible (bien que j'ai toujours décroché du côté des systèmes formels au 2/3 du bouquins). A lire cet été, je ferais une interrogation écrite en septembre :D .

Olivier
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Garulfo

Re: Démonstration 1+1=3

Message non lu par Garulfo »

rebouxo a écrit :Pour moi c'est très clair. Si j'ai bien compris cela expliquerais la déraisonnable efficacité des maths : en se situant dans le modèle, on fait correspondre le monde de la logique avec le monde réel. Non ?
En fait ça n'expliquer pas pourquoi les modèles mathématiques sont si proches du monde réel en fait. Ça explique un peu le pont entre logique et modèle ; ça explique surtout les limites d'utiliser un système symbolique formel pour décrire un monde chargé de sens en mathématique. En dehors des mathématiques, toute interprétation est douteuse. Chacun a sa réponse : c'est un hasard ; c'est une illusion ce n'est que quelque exemple qui ont fonctionné ; c'est dû à la configuration de notre cerveau (e.g. Krivine) ; c'est parce que nous avons une base intuitive de la nature qui sert de fondement aux mathématiques et que notre raison pure peut faire la suite (e.g. Kant) ; c'est parce que Dieu nous a fait pour ça (je sais pas qui mais il y en a bien un qui dit ça).

En tout cas :P