Le raisonnement mathématique

[M@rion]

bonjour,

je sais qu'il y a déjà pas mal de trucs là-dessus, mais je voudrais savoir ce qui selon vous caractérise la rigueur du raisonnement scientifique, et plus particulièrement en mathématiques.

merci par avance pour vos réponses.

[Mikelenain]

ne pas affirmer ou sortir des formules du chapeau genre "it's magic" ;)

[projetmbc]

L'absence de subjectivité...

[Mikelenain]

la clarté du raisonnement et de la présentation de celui-ci est aussi quelque chose d'important (même si je ne pense pas que cela soit vraiment à intégrer dans la notion de rigueur)

[rebouxo]

L'absence de subjectivité...

Heu c'est quoi la subjectivité ? Parce que je doute qu'elle soit absente des maths.
Les matheux essayent de partir du moins de suppositions possibles. Chez Euclide, le nombre d'axiome est de $5$, seulement. À partir de cela on peut construire toutes la géométrie (euclidienne). C'est là qu'il y a une part de subjectivité. Pourquoi accepter le postulat des parallèles d'Euclide et pas un autre ?
Et dans le processus de découverte, la subjectivité n'est pas non plus complètement absente.

Olivier

[projetmbc]

En parlant du raisonnement, je partais du principe que des axiomes étaient posés. Sinon on ne s'en sort jamais...

[rebouxo]

Oui, et non. Parce que si la rigueur mathématique impose une forme de raisonnement (logiquo-déductif ou la tautologie, ce qui pose d'autres problèmes àmha) il y a un bien un moment où tu remontes aux axiomes et donc à leurs choix (à ce propos voir ici, sur l'histoire de la géométrie). Sans parler que la question de M@rion mériterait certainement d'être précisée d'un point de vue historique : la notion de raisonnement et de rigueur de celui-ci n'est certainement pas la même au XXe siècle, au XVIIIe ou au Ve av J.-C. (Corollaire, la rigueur de raisonnement n'est certainement pas la même si tu te situe au collège, en Terminale S, en BTS, ou en master de mathématiques).

Olivier

[projetmbc]

C'est vrai mais pour moi une bonne démonstration doit répondre à ce qui est dit dans la citation suivante :

The ultimate goal of mathematics is to eliminate any need for intelligent thought.

[Tonn83]

Les démonstrations les plus courtes sont toujours les meilleures, comme le dit Lafontaine dans l'une de ses fables, enfin je crois.

[rebouxo]

C'est vrai mais pour moi une bonne démonstration doit répondre à ce qui est dit dans la citation suivante :

The ultimate goal of mathematics is to eliminate any need for intelligent thought.

Tu peux citer l'année ? Parce qu'il me semble que le projet de Whitehead et Russell a du plomb dans l'aile depuis pas mal d'année. On peut vérifier une preuve sans intelligence, mais la créer j'ai beaucoup de doute.

Olivier

[projetmbc]

Tu peux citer l'année ?

Un peu foireuse cette remise en question...

... il me semble que le projet de Whitehead et Russell a du plomb dans l'aile depuis pas mal d'année.

C'est un peu fort de café. Tu oublies les débats sur les démonstrations automatiques.

On peut vérifier une preuve sans intelligence, mais la créer j'ai beaucoup de doute.

Là je te rejoins. Je préciserais qu'une bonne démonstration doit se lire sans souci. Là pour moi il y a une double intelligence de la part de celui qui fait et expose sa démonstration : la 1ère est de l'avoir trouvée, et la 2nde d'en avoir extrait l'essence même pour en faire un exposé le moins technique et ésotérique possible.

[rebouxo]

Tu peux citer l'année ?

Un peu foireuse cette remise en question...

Non, c'est une vraie question. Au début du XXe siècle, il me semble que le but est de créer un langage, une méthode visant à automatiser les mathématiques (c'est pas un des problèmes de Hilbert, ça ?). Et quand j'ai commencé à enseigner je n'étais pas loin de penser comme cela.

... il me semble que le projet de Whitehead et Russell a du plomb dans l'aile depuis pas mal d'année.

C'est un peu fort de café. Tu oublies les débats sur les démonstrations automatiques.

Non, je n'oublie pas. Pour l'instant les preuves par démonstration automatiques demandent un sérieux travaillent en amont, me semble-t-il. Je ne pense pas que cela soit possible d'une manière générale sur l'ensemble des maths à cause des théorème d'incomplétude et des problèmes de calculabité.

On peut vérifier une preuve sans intelligence, mais la créer j'ai beaucoup de doute.

Là je te rejoins. Je préciserais qu'une bonne démonstration doit se lire sans souci. Là pour moi il y a une double intelligence de la part de celui qui fait et expose sa démonstration : la 1ère est de l'avoir trouvée, et la 2nde d'en avoir extrait l'essence même pour en faire un exposé le moins technique et ésotérique possible.

On est bien d'accord.

Olivier

[Garulfo]

ce qui selon vous caractérise la rigueur du raisonnement scientifique, et plus particulièrement en mathématiques.

Rien. La rigueur d'un raisonemment reste la même que ce soit celle d'un raisonnement philosophique, mathématique, historique ou autre. Si la rigueur est la même le cadre du raisonnement est distinct et les règles peuvent différer. La différence est dans l'intérêt du raisonnement et la portée de celui-ci dans les mathématiques même. En fait, en mathématique, le raisonnement — je ne différencie pas ici preuve et raisonnement, même si on peut donner un sens plus stricte au premier — est une fin en soi, ce qui n'est pas le cas dans les autres sciences en général... mais qui l'est en philosophie. Ainsi, comme le pense beaucoup de mathématicien, la démonstration est une promenade et s'il doit mener quelque part (le théorème), il est au moins aussi salutaire pour nous que sa fin. D'ailleurs il est bien connu qu'une fois un théorème démontré, celui-ci perd une grande partie de son intérêt. C'est la preuve de ce théorème qui devient essentiel. Le théorème peut, au mieux, devenir un lemme pratique. Pour un moine Zen, pour Aristote ou pour Nietzsche, on ne saurait penser sans se promener. En math, en gardant mon analogie, c'est identique. La promenade nous enseigne plus sur la nature des choses mathématiques que le point final : la démonstration est plus riche d'enseignement que le théorème.

Je pense que c'est là le point important. On retrouve un peu la pensée intuitionniste derrière ça. Et c'est pourquoi beaucoup de mathématicien sont deçus de la démonstration du théorème des quatre couleurs et enjoué de l'échec de celle du théorème de Fermat.

Sinon, pour conclure, il devient de plus en plus faux que les démonstrations se lisent sans soucis. En fait, on constate que les démonstrations sont en constante croissance de complexité. Et c'est là qu'interviennent les ordinateurs et les vérificateurs de preuve. On est loin de réussir à faire des démonstrations automatiques dès que cela demande un peu « d'intelligence ». Par contre, on peut vérifier une preuve formelle. Cependant une preuve formelle n'est pas toujours possible comme on le sait par les théorèmes d'incomplétude de Gödel. Dire qu'une « bonne démonstration doit se lire sans soucis » sous-entend que la démonstration de la conjecture de Poincaré n'est pas une bonne démonstration. Peut-être est-elle trop complexe... mais qu'est-ce qui nous assure qu'il en existe une peu complexe ? En fait, il semblerait qu'on a épuisé pas mal de démonstration peu complexe. On arrive donc dans les complexes. Tenez vous prêt ;)

Avez-vous vu le HS ou le Cahier spécial de la Recherche (je ne suis plus sûr) sur l'intérêt des mathématiques qui est paru il y a qqs mois ? Cela parlait de ça entre autre.

[rebouxo]

J'aime beaucoup ton point de vue, même si je pense quand même qu'il y a une spécifié de rigueur propre aux mathématiques. La rigueur en histoire est parfois bien légère comparée aux critères des matheux. L'intérêt de ton point de vue est de mettre en évidence que la rigueur quand même liée à des conditions sociologiques et historiques, et que donc elle peut évoluer.

Si l'on reprend ta métaphore de la promenade, Perelman n'a peut-être pas pris le chemin le plus simple, mais seulement celui qu'il pouvait prendre compte tenu de ce qu'il connaissait de la géographie (théographie ?). Peut-être quelqu'un trouvera un chemin plus rapide, ou bien créera un tunnel permettant de franchir les cols très élevé que seul Perelman a su passé.

Olivier

[M@rion]

merci beaucoup pour toutes ces réponses :D

quel est l'article dans la Recherche ?

[Garulfo]

J'aime beaucoup ton point de vue, même si je pense quand même qu'il y a une spécifié de rigueur propre aux mathématiques. La rigueur en histoire est parfois bien légère comparée aux critères des matheux. L'intérêt de ton point de vue est de mettre en évidence que la rigueur quand même liée à des conditions sociologiques et historiques, et que donc elle peut évoluer.

Ce que je dis c'est que la rigueur n'est que le fait de s'assurer de suivre les critères imposés. Les biologistes sont aussi rigoureux que les mathématiciens ou que les historiens. La différence vient du domaine et du choix des règles. Une preuve historique n'a pas de sens en mathématique (enfin sauf quand c'est de l'histoire des maths dont on parle), mais une preuve mathématique n'a pas de sens en histoire. De même une preuve mathématique ne sera jamais jugé aussi valide en physique que le résultat d'une expérience. Si les résultats théoriques contredisent les expériences, on remettra sur la table la théorie et non l'observation. C'est le contraire (dans une certaine mesure) en mathématique. On ne peut rien démontrer dans un sens mathématique en dehors des mathématiques. Les domaines sont séparés et incomparables. Le domaine le plus proche des mathématiques est la philosophie (je ne dis pas l'informatique théorique car l'informatique théorique, c'est des mathématiques). Mais encore une fois, la distinction vient des règles utilisées et des axiomes. Cependant, étant aussi un domaine purement cérébral, on retrouve la nécessité d'un raisonnement sans faille. C'est vrai que parfois certains philosophes ne s'entendent pas sur ce qu'est une « démonstration philosophique » mais puis-je rappeler que tous les mathématiciens n'ont plus ne sont pas d'accord sur ce qu'est une preuve en mathématique. En fait, pour s'entendre on fait :

• Posons cette définition de ce qu'est une preuve
• voici mes résultats

La rigueur est donc, théoriquement, la même partout. Nous essayons tous d'être rigoureux, c'est-à-dire de suivre une ligne de conduite qui convient à notre domaine. On pourrait plutôt dire que la validité d'une preuve en math est moins souvent mise en doute. Mais cela devient plus délicat car les preuves s'allongent et deviennent complexe à arbitrer. Les conventions entourant la notion de vérité en math sont cependant plus universelles que celles entourant la notion de vérité dans les autres domaines je pense... Tiens ça me rappelle que j'ai une revue là-dessus ; sur la notion de vérité dans les sciences.

[Garulfo]

merci beaucoup pour toutes ces réponses :D

quel est l'article dans la Recherche ?

Désolé du temps mis à te répondre : ça fait un bout de temps que je n'étais pas venu.
C'est donc dans

« Le pouvoir des mathématiques »
Les dossiers de la Recherche, no. 37,
novembre 2009.

Ils y a plusieurs articles sympa dont ceux de Jean-Yves Girard, de Gilles Dowek et de Pierre Lescanne qui sont sur les preuves et les démonstrations.

[rebouxo]

Tout à fait d'accord avec toi.
Voir ici, pour un point de vue sur la rigueur. Excellent site, d'ailleurs.

Olivier

[M@rion]

merci beaucoup, je vais lire les articles

[khalix]

Je pense que c'est une magie elle-même qui explique tout numérique.
mathématiques, c'est comme un facteur important dans notre vie. 8)