Dérivation sous le signe somme (contre-exemple)

[projetmbc]

Bonjour,
soit une fonction du type suivant :

$\displaystyle g(x)=\int_{a}^{b} f(t,x) dt$

Je cherche un (contre-)exemple (simple) montrant que l'on n'a pas toujours :

$\displaystyle \frac{dg}{dx}(x)=\int_{a}^{b} \frac{\delta f}{\delta x}(t,x) dt$

Toute info. est la bienvenue.

[guiguiche]

Tu cherches quel type de contre-exemple : $\dfrac{\partial f}{\partial x}$ existe mais pas $g'(x)$ ou bien $g'(x)$ existe mais ne correspond pas à l'intégrale de $\dfrac{\partial f}{\partial x}$ (je ne sais pas si c'est possible) ?

[projetmbc]

Les deux mon capitaine... :D

[guiguiche]

Dans le premier cas, avec une fonction qui n'est pas de classe $\mathcal C^2$, ça doit convenir (vu qu'on utilise Taylor Lagrange pour démontrer le résultat en majorant $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}$).

[OG]

Il y a tout de même pas mal de cas où ce n'est pas $\mathcal{C}^2$ en $x$ et où le résultat est vrai (vu que $\mathcal{C}^1$ et une hypothèse de domination suffisent).

J'ai regardé dans Rudin :
$$\varphi(x,t)=
\begin{cases} x & 0\leq x \leq \sqrt{t} \\[3pt]
-x+2\sqrt{t} & \sqrt{t}\leq x \leq 2\sqrt{t} \\[3pt]
0 & \text{autrement}\end{cases}$$

$f(t)=\int_{-1}^1 \varphi(x,t) dt$. On a $\varphi_t(x,0)=0$.
Montrer que $f(t)=t$ si $|t|\leq 1/4$. Ainsi $f'(0)=1$.

O.G.

[projetmbc]

Pas mal cet exemple. Merci.