Arithmétique

[123]

Justifier clairement vos réponses. Merci beaucoup.
C'est surtout pour les justifications

1) je dispose de 96 bonbons au chocolat, 120 bonbons au citron et 144 bonbons à la menthe.A l'aide de tous ces bonbons, je confectionne le plus grand nombre possible de sachets au contenu identique en utilisant tous les bonbons. Combien y aura t il de bonbons par sachet ?

2) parmi les paires de nombres naturels premiers entre eux dont le ppcm vaut 60, choisissons celle dont la somme est minimale. Que vaut cette somme ?

3) pour quelles valeurs de p (p étant un nombre naturel), p+11 admet il comme diviseur p-1 ?

4) si 3a+2 est un multiple de 7 et si b+1 est un multiple de 7 monter que $3a^2+b^2$ est multiple de 7.

5) le produit des diviseurs d'un nombre vaut 1728. Quel est ce nombre ?

6) touver le pgcd entre 19n+8 et 5n+3, n appartenant à $\N$.

[Edit:MB] Correction de quelques erreurs dans le message (et mise en forme). Il faut s'inscrire sur le forum pour pouvoir éditer ses messages et être prévenu d'une réponse.

[Rémi]

Bonjour, Merci, Au revoir. Non ??

Je m'excuse mais je pense qu'un minimum de politesse est quand même agréable.

[nirosis]

A quel niveau tu te places ?
Peux tu t'inscrire sur le forum, ça prend 10 secondes.

ps : Rémi a raison, essaie d'être plus poli quand tu arrives sur un forum

Pour la 1) :

Tu notes $n,\ m\ et\ p$ le nombre de bonbons respectivement au chocolat, au citron et à la menthe dans un sachet type.

Tu cherches un nombre $k$ qui est le nombre maximal de sachets que tu peux créer.
Tu dois donc avoir :

<center>$k \times n = 96$</center>
<center>$k \times m = 120$</center>
<center>$k \times p = 144$</center>

Tu remarques que k divise donc 96, 120, 144... Le $k$ que tu cherches est donc le pgcd de ces 3 nombres.

[MB]

2) parmi les paires de nombres naturels premiers entre eux dont le ppcm vaut 60, choisissons celle dont la somme est minimale. Que vaut cette somme ?

On peut commencer par utiliser $ppcm(a;b) \times pgcd(a;b) = ab$. On obtient ici $ab=60$. Je pense qu'il faut alors lister tous les couples qui conviennent (je ne vois pas comment faire autrement mais je suis assez mauvais en arithmétique).

Je trouve alors $(1;60)$, $(3;20)$, $(4;15)$ et $(5;12)$. La somme vaudrait donc $17$.

[MB]

Tu remarques que k divise donc 96, 120, 144... Le $k$ que tu cherches est donc le pgcd de ces 3 nombres.

On trouve alors $k=24$ en utilisant $k = pgcd(pgcd(96;120);144)$.

[Nightmare]

Bonjour,

la 3)
<center>$\((p-1)|(p+11)\)\Leftrightarrow \(\dfrac{p+11}{p-1}\in\mathbb{N}\)$</center>

Or , on a : $\dfrac{p+11}{p-1}=\dfrac{p-1+12}{p-1}=1+\dfrac{12}{p-1}$

Autrement dit , par stabilité de l'addition dans $\N$ , $\dfrac{p+11}{p-1}$ est entier si et ssi $\dfrac{12}{p-1}$ l'est , c'est à dire si et ssi $(p-1)|12$

On peut donc avoir :

$p-1=1\Rightarrow p=2$
$p-1=2\Rightarrow p=3$
$p-1=3\Rightarrow p=4$
$p-1=4\Rightarrow p=5$
$p-1=6\Rightarrow p=7$
$p-1=12\Rightarrow p=13$

:)
Jord

[nirosis]

123 reviendra-t-il ici voir les réponses ?? je l'espère ! :?

[Nightmare]

Oui esperons que le "travail" n'est pas vain

Pour le dernier , on effectue les divisions successives de l'algorithme d'Euclide jusqu'a obtenir un reste constant.

Je te laisse faire.