Définition d'une topologie

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paspythagore
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Définition d'une topologie

Message par paspythagore »

Bonjour,
je lis la première page du cours de Topologie et déjà, il y a quelque chose que je ne comprends pas:
Topologie, ouvert
Une topologie sur un ensemble $E$ est une partie $\mathcal{J}$ de $\mathcal{P}(E)$ qui vérifie les propriétés suivantes :
1. $\varnothing\in\mathcal{J}, E\in\mathcal{J}$
2. L'intersection de deux éléments de $\mathcal{J}$ est un élément de $\mathcal{J}$
3. La réunion (finie ou infinie) d'une famille d'éléments de $\mathcal{J}$ est un éléments de $E$.
Un espace topologique est un couple $(E, \mathcal{J})$ où $E$ est un ensemble et $\mathcal{J}$ une topologie sur $E$.
Les élément de $\mathcal{J}$ sont appelés les ouverts ou les parties ouvertes de $E$.

Sur $\mathbb{R}$, l'ensemble formé de $\varnothing, \mathbb{R}$ et des intervalles de la forme $]a, b[$, n'est pas une topologie car la propriété 3. n'est pas vérifiée.

Je ne comprends pas

En revanche, l'ensemble formé de $\varnothing, \mathbb{R}$ et des réunions quelconques d'intervalles de la forme $]a, b[$ est bien une topologie.

Je ne comprends pas la nuance

Merci de votre aide.

François D.
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Re: Définition d'une topologie

Message par François D. »

Dans le premier cas, la réunion de deux intervalles $]a,b[ \cup ]a',b'[$ peut ne pas être un intervalle « d'un seul tenant », ce qui est pourtant le contexte envisagé.

Dans le second cas, en n'imposant plus des intervalles d'un seul tenant, on est tranquille.

girdav
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Re: Définition d'une topologie

Message par girdav »

Bonjour,
si tu prends les intervalles $\left]0,1\right[$ et $\left]2,3\right[$ alors on ne peut pas écrire leur réunion comme un intervalle de $\mathbb R$ car par exemple $\frac 12$ et $\frac 52$ y sont mais par $\frac 32$.
En revanche, une réunion quelconque de réunion quelconque d'intervalles ouvert est encore une réunion quelconque d'intervalle ouverts et l'intersection de deux réunions quelconques d'intervalles ouverts est encore une réunion d'intervalles ouverts.

paspythagore
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Re: Définition d'une topologie

Message par paspythagore »

Merci,

mais je ne comprends toujours pas les nuances dans les énoncés.
3. La réunion (finie ou infinie) d'une famille d'éléments de $\mathcal{J}$ est un éléments de $E$.
Des réunions quelconques d'intervalles de la forme $]a, b[$
Une réunion d'intervalles c'est forcément un intervalle ?

OG
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Re: Définition d'une topologie

Message par OG »

Dur dur la topo au début !

Non l'union de deux intervalles n'est pas nécessairement un intervalle. Voir les exemples proposés plus haut.
Donc "vide, $\R$ et les intervalles" ne forment pas une topologie.
Par contre si on agrandit la collection à "vide, $\R$ et union quelconque d'intervalles" c'est une
topologie. Il faut le démontrer par contre.

De quelle nuance parles-tu ?
Il y a un pb dans 3, c'est "un élément de $\mathcal J$" et pas $E$

O.G.

paspythagore
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Re: Définition d'une topologie

Message par paspythagore »

Merci,

effectivement 3. La réunion (finie ou infinie) d'une famille d'éléments de $\mathcal{J}$ est un éléments de $\mathcal{J}$.

La nuance c'est entre "les intervalles" et "union quelconque d'intervalles".

"les intervalles", je pense avoir compris ce que c'est, mais "union quelconque d'intervalles"

Est que la seule différence est : "les intervalles" c'est plusieurs ensembles et "union quelconque d'intervalles" un seul ensemble ?

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Re: Définition d'une topologie

Message par girdav »

Une union quelconque d'intervalles, c'est un ensemble disons $E$ tel qu'il existe un ensemble $J$ tel que $E =\bigcup_{j\in J}I_j$ avec $I_j$ un intervalle pour tout $j\in J$.
De façon évidente, tout intervalle est un réunion quelconque (en fait d'un intervalle) mais on a déjà vu que la réciproque est fausse, même pour une réunion finie.

paspythagore
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Re: Définition d'une topologie

Message par paspythagore »

Merci,

c'est pas complétement clair. Je vais continuer et voir d'autres exemples, ça devrait m'aider.

Une autre question $\mathcal{P}(E)$ c'est l'ensemble des parties de $E$ ?

Arnaud
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Re: Définition d'une topologie

Message par Arnaud »

Oui.
Arnaud
Un peu d'info - Pyromaths - Pas d'aide en MP (non plus)

paspythagore
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Re: Définition d'une topologie

Message par paspythagore »

Merci.

paspythagore
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Re: Définition d'une topologie

Message par paspythagore »

Bonjour,
j'ai du mal à m'emparer des premiers concepts de topologie.
Non l'union de deux intervalles n'est pas nécessairement un intervalle. Voir les exemples proposés plus haut.
Donc "vide, $\R$ et les intervalles" ne forment pas une topologie.
Par contre si on agrandit la collection à "vide, $\R$ et union quelconque d'intervalles" c'est une
topologie. Il faut le démontrer par contre.
Une partie c'est nécessairement un intervalle "continue" ?
Une union quelconque d'intervalles est un intervalle ?
Si non, avec l'ensemble vide et $\R$ ça peut quand même constituer une topologie ?
Ouverts-Fermés
Une topologie est un ouvert et un ouvert est une topologie ?
Une intersection quelconques d'ouverts n'est pas toujours ouverte
Est uniquement dans le cas où l'intersection n'est pas finie ?
Pouvez vous me donner des exemples ?

Je suis dans le cours de la collection Pearson :
Topologie induite : Soient $(E, J)$ un espace topologique et $A$ une partie de $E$. On vérifie immédiatement que l'ensemble :
$J_A=\{O\cap{A}|O\in J\}$
est une topologie sur $A$
Ca veut une partie, soit $A=\varnothing$, soit $A=E$ soit $A$ est une partie quelconque et est un intervalle ?
Quel est cet intervalle $O$ ?

Merci de vote aide.

François D.
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Re: Définition d'une topologie

Message par François D. »

Mieux vaut ne pas précipiter les choses.

D'abord, la notion d'ouvert au sens général est à bien appréhender : si une famille de sous-ensembles de $E$ vérifie les conditions énoncées par la définition, alors ces sous-ensembles sont les ouverts de la topologie qui est précisément la famille de sous-ensemble en question.

Pour $\R$, le problème si on choisit comme famille de sous-ensembles les intervalles dont les deux bornes sont exclues est que la réunion de deux tels intervalles peut ne plus être un intervalle, c'est tout.

La topologie induite, c'est une famille de sous-ensembles qui vérifient dans $A$ les conditions de la définition, sauf qu'ils sont pris comme les intersections (la trace) des sous-ensembles de la topologie de départ sur $E$ et du sous-ensemble $A$ ...

paspythagore
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Re: Définition d'une topologie

Message par paspythagore »

Merci de ton aide.

Est il possible de corriger mon message précédent simplement en répondant par vrai ou faux (l'idéal serait avec des contre exemple). Ca n'est peut être le meilleur moyen pour moi d'avancer mais tant que je bloque sur ces questions, je n'arrive pas à me concentrer sur autre chose.

Pour ce qui suit, c'est loin d'être acquis pour moi.
Pour $\R$, le problème si on choisit comme famille de sous-ensembles les intervalles dont les deux bornes sont exclues est que la réunion de deux tels intervalles peut ne plus être un intervalle, c'est tout.

La topologie induite, c'est une famille de sous-ensembles qui vérifient dans $A$ les conditions de la définition, sauf qu'ils sont pris comme les intersections (la trace) des sous-ensembles de la topologie de départ sur $E$ et du sous-ensemble $A$

François D.
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Re: Définition d'une topologie

Message par François D. »

Un intervalle ouvert de $\R$ est du type $]a,b[$ ($a<b$). Choisir la famille des intervalles de ce type comme topologie sur $\R$ ne convient pas, simplement car il est possible que $]a,b[ \cup ]a',b'[$ ne soit plus un sous-ensemble de ce $\R$ de ce même type (un intervalle « sans trou »), lorsque $b<a'$ par exemple.
En fait, dans le cas de $\R$ le mot ouvert est un peu ambigu : se limiter aux intervalles ouverts de $\R$ ne suffit pas pour avoir une topologie sur $\R$, la famille en question n'étant pas stable par réunion ; en revanche, ajouter à cette famille les sous-ensembles de $\R$ constiués de réunions d'intervalles ouverts de $\R$ répare cette lacune.

Pour la notion de topologie induite : on a par exemple une topologie induite sur $[0;1]$ en prenant comme famille d'ouverts de $[0;1]$ les intersections d'ouverts de $\R$ avec $[0;1]$.

Edit : lorsque j'affiche mon message, j'ai une sorte de $\hat{A}$ intempestif dans une de mes formules ... je vous assure que le code $\LaTeX$ est pourtant bon :mrgreen: .

Edit Arnaud : apparemment c'est un problème d'encodage de tes espaces, avec les miennes ça passe.

paspythagore
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Re: Définition d'une topologie

Message par paspythagore »

Merci,

cette reformulation me permet d'avancer :
Un intervalle ouvert de $\R$ est du type $]a,b[$ ($a<b$). Choisir la famille des intervalles de ce type comme topologie sur $\R$ ne convient pas, simplement car il est possible que $]a,b[ \cup ]a',b'[$ ne soit plus un sous-ensemble de ce $\R$ de ce même type (un intervalle « sans trou »), lorsque $b<a'$ par exemple.
Pour le reste...

Je vais essayer les exos.

paspythagore
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Re: Définition d'une topologie

Message par paspythagore »

Aïe, aïe, aïe....
En fait, dans le cas de $\R$ le mot ouvert est un peu ambigu : se limiter aux intervalles ouverts de $\R$ ne suffit pas pour avoir une topologie sur $\R$, la famille en question n'étant pas stable par réunion ; en revanche, ajouter à cette famille les sous-ensembles de $\R$ constitués de réunions d'intervalles ouverts de $\R$ répare cette lacune.
Tu peux me donner deux exemples s'il te plait ?

Merci d'avance.

OG
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Re: Définition d'une topologie

Message par OG »

Bonjour

Pas facile la topologie. Il faut bien comprendre que tu fixes une partie de $P(E)$ (un ensemble de parties de $E$) qui doit vérifier 3 règles.
Le but de tout cela est d'étendre les notions d'ouverts, fermés, etc que l'on peut faire plus facilement dans les espaces vectoriels normés, les espaces métriques (comme $\R$, $\R^N$) dans un cadre général. En effet il n'y a pas toujours une métrique sur un ensemble et on veut tout de même faire de l'analyse.

Si tu prends comme collection "les intervalles du type $]a,b[$" plus le vide et $\R$ ça ne marche pas. La règle du jeu N°3 n'est pas respectée car $]0,1[\cap ]4,5[$ n'est pas un intervalle ouvert, tu "sors" donc de ta collection. La question naturelle est de savoir que faut-il ajouter (au minimum) à cette collection pour avoir une topologie ? On démontre que prendre "tout ensemble qui s'écrit comme réunion d'intervalles ouverts" (+ le vide) est une topologie. 1 et 3 sont vérifiées (pour 3 pas de pb on a pris ce qu'il fallait), à toi de démontrer 2 par exemple.

bon courage pour ta découverte de la topologie.
O.G.

paspythagore
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Re: Définition d'une topologie

Message par paspythagore »

Bonjour et merci de ton aide, effectivement j'ai de grosses difficultés notamment avec le sens des mots :

"les intervalles du type $]a,b[$" je pensais que ça voulais dire $]a,b[,]c,d[,...$ pour donner par exemple une topologie $\{\R, \varnoting, ]a,b[,]c,d[,...\}$

Mais en réalité ça veut dire l'intervalle $]a,b[\cup]c,d[\cup...$ qui peut ne pas être un sous-ensemble (une partie c.a.d. un intervalle) de ce $\R$ ?
Un ensemble ou un sous-ensemble c'est quelque chose de forcément continu ?
Il n'y a pas de notion d'ensemble dans les trois règles ?
Une réunion d'intervalles ouverts c'est forcément un intervalle ?
On démontre que prendre "tout ensemble qui s'écrit comme réunion d'intervalles ouverts" (+ le vide) est une topologie. 1 et 3 sont vérifiées (pour 3 pas de pb on a pris ce qu'il fallait), à toi de démontrer 2 par exemple.
Une réunion d'intervalles ouverts est un intervalle, l'intersection de deux intervalles est soit un intervalle soit l"ensemble vide donc 2 est vérifié.

François D.
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Re: Définition d'une topologie

Message par François D. »

Très vite : $]a,b[\cup ]c,d[$ avec $b<c$ n'est plus un intervalle, c'est ce qu'on veut te faire comprendre (un intervalle étant censé être « d'un seul tenant ») ... C'est pour cela que prendre les intervalles ouverts de $\R$ (+ l'ensemble vide) comme collection de sous-ensembles n'est pas un bon candidat pour une topologie sur $\R$ : la réunion de deux représentants de cette collection n'est plus forcément un nouveau représentant de cette collection.