[TS] Suite (récurrence)

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cyril69210
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[TS] Suite (récurrence)

Message par cyril69210 »

Bonjour.

Voici mon problème :
Etudier le sens de variation de $(U_n)$ définie par :

$$U_{n+1}=U_n(1-U_n)$$

sachant que $U_0=0,5$.

Un raisonnement par récurrence est attendu.
J'ai démontré que pour $n=0$ la suite $(U_n)$ est décroissante sur $[0;1]$.

Mais je n'arrive pas à faire la suite, notamment trouver l'hypothese de récurrence.
J'aimerais quelques tuyaus car on commence juste ce type de raisonnement.

Merci d'avance.

MB
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Re: [TS] Suite (récurrence)

Message par MB »

cyril69210 a écrit :J'ai démontré que pour $n=0$ la suite $(U_n)$ est décroissante sur $[0;1]$.
Que veut dire cette phrase ?
MB (Pas d'aide en Message Privé)
Merci d'utiliser MathJax (voir ici) et d'éviter le style SMS pour la lisibilité des messages.

cyril69210
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Message par cyril69210 »

Apres relecture : rien du tout.
J'ai essayé pour $n=0$ voila.

guiguiche
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Message par guiguiche »

La récurrence, c'est pour prouver que $U_n \in [0,1]$ pour tout entier naturel $n$. Ensuite le sens de variation est immédiat en utilisant la définition.

cyril69210
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Message par cyril69210 »

Je comprend pas trop :? désolé !

pour $n=0$, $U_1<U_0$

Donc ($U_n$) est strictement décroissante sur [0;1]

maintenant faut que je demontre que $U_{n+1}<U_n$ donc que ($U_n$) est strictement décroissante sur $\N$ non ??

guiguiche
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Message par guiguiche »

cyril69210 a écrit : pour n=0 , $U_1<U_0$

Donc ($U_n$) est strictement décroissante sur [0;1]
Non : ... donc $u_1<u_0$ un point c'est tout !

Une suite n'est pas définie sur $]0,1[$ donc dire qu'elle est décroissante sur $[0,1]$ est une aberration sur le plan mathématique.
Mais commence par la récurrence, comme je te l'ai dit, le sens de variation s'établit tout seul ensuite (sans autre récurrence).

cyril69210
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Message par cyril69210 »

D'accord merci je vais essayer !

C'est bon j'ai trouver sans l'aide de la récurrence le sens de variation de la suite !
Mais a mon avis un demonstration par recurrence etait demandé ..

cyril69210
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Message par cyril69210 »

J'aurais une autre petite question !
Que veut dire le point d'exclamation ? comme ici :

$U_n$= $\dfrac{n²}{n!}$

J'ai beau regarder ce n'est pas marqué dans mon cours.

guiguiche
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Message par guiguiche »

Par définition:
$$n!=n\times(n-1)\times(n-2)\times\dots\times2\times1$$

cyril69210
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Message par cyril69210 »

D'accord ! je sent que je vais m'amuser... :?

Samurai_2k5
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Message par Samurai_2k5 »

Essai $U_{n+1}/U_n < 1$ .... car $0<U_n<1$.

Arnaud
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Message par Arnaud »

Samurai_2k5 a écrit :Essai $U_{n+1}/U_n < 1$ .... car $0<U_n<1$.
Affirmation fausse, un contre-exemple est donné par $T_n=1-\dfrac{1}{n}$

Samurai_2k5
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Message par Samurai_2k5 »

Arnaud a écrit :
Samurai_2k5 a écrit :Essai $U_{n+1}/U_n < 1$ .... car $0<U_n<1$.
Affirmation fausse, un contre-exemple est donné par $T_n=1-\dfrac{1}{n}$
Je parlais du cas particuier de l'exercice: dans notre cas on montre que $Un<1$, et pas definition de $Un$on onbtient le resultat.

A tete reposé je dirai que $Un<1/2$ ( fonction $f(x)=x(1-x) sur [0,1]$), ce qui donne la convergence. :wink:
_ rien a faire, je suis perdu

Samurai_2k5
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Message par Samurai_2k5 »

Samurai_2k5 a écrit :
A tete reposé je dirai que $Un<1/2$ ( fonction $f(x)=x(1-x) sur [0,1]$), ce qui donne la convergence. :wink:
Pas utile, juste que $0<Un<1$ suffit.
_ rien a faire, je suis perdu