Sous groupe de Sylow

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paspythagore
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Sous groupe de Sylow

Message par paspythagore »

Bonjour,

j'ai un exercice corrigé qui me confirme que je n'ai rien compris à Sylow. Merci, de votre aide.
Ennoncé
Décrivez les $3$-sous-groupes de Sylow de $S_5$. Quel est le nombre de $3$-sous-groupes de Sylow de $S_5$ ?
Corrigé
$3^1$ est la plus grande puissance de $3$ divisant $5!=120$ (le cardinal de $S_5$). Un sous-groupe de cardinal $3$ est cyclique. Il contient $2$ éléments d'ordre $3$(chacun est un générateur). Le nombre de $3$-cycles est $20$. Le nombre de $3$-sous-groupe de Sylow est donc $10$.
Le nombre de $3$-cycles est $20$. Pourquoi ? Parce qu'il y a $\ds\binom{5}{3}=\dfrac{5!}{(5-3)}=\dfrac{120}{20}=60$ et comme $(1, 2, 3)=(2, 3, 1)=(3, 1, 2)$, il faut diviser ce résultat par $3$ soit $20$ $3$-sous-groupes ?
Mais pourquoi $10$ $3$-Sylow ? Quelle relation lie ces 2 résultats ?

Je pensais qu'en appelant $n_3$ le nombre de $3$-Sylow, on avait $n_3$ divise $\dfrac{120}{3}=40$ et $n_3\equiv 1$ mod $3$, les solutions sont $4, 10 \text{ et } 40$. Je ne sais plus comment me débarrasser de $4$ et $40$.

balf
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Re: Algèbre : sous groupe de Sylow

Message par balf »

Il y a 10 3-Sylows parce que chacun possède deux générateurs (si s est un générateur, s² est l'autre). Ainsi, tous les 3-cycles sont regroupés par paires engendrant le même 3-Sylow.
Ceci dit, votre explication du nombre de 3-cycles n'est pas franchement rédigée... :
Pourquoi ? Parce qu'il y a
$\ds\binom{5}{3}=\dfrac{5!}{(5-3)}=\dfrac{120}{20}=60$

60 quoi ?

On n'a pas vraiment besoin des théorèmes de Sylow ici (si ce n'est l'existence des 3-Sylows). En revanche il faut dire pourquoi un élément d'ordre 3 est forcément un 3--cycle. On élimine 4 et 40, parce que ça ferait 8 ou 80 3-cycles : ce serait trop ou pas assez.

.A.