[Topologie] Pyramides et cônes

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Aleph
Utilisateur confirmé
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Messages : 86
Inscription : mardi 05 janvier 2010, 16:38

[Topologie] Pyramides et cônes

Message par Aleph »

Bonjour,

je cherche à décrire des pyramides en m'inspirant de la notion de cône topologique :
http://en.wikipedia.org/wiki/Cone_(topology)

Le problème est que je ne comprend pas la notion d'espace quotient introduite pour définir le cône $CX$ d'un espace topologique $X$ : $CX = (X\times [0;1])/(X\times \{0\})$.
Est-ce que quelqu'un pourrait m'expliciter la relation d'équivalence ici?
Je connais déjà la notion d'espace quotient en algèbre mais je ne vois pas la correspondance.

Merci d'avance pour votre aide.

Valvino
Utilisateur éprouvé
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Messages : 921
Inscription : mercredi 21 mars 2007, 10:59

Re: [Topologie] Pyramides et cônes

Message par Valvino »

Je suis pas spécialiste du tout mais voilà comment je vois les choses. Ici on fait tout simplement des collages comme en maternelle. Par exemple une manière de définir le cercle unité à une dimension c'est de quotienter [0,1] par la relation d'équivalence qui identifie 0 et 1 (en gros toutes les classes d'équivalences sont des singletons, sauf une qui contient 0 et 1). En gros on a collé le 0 avec le 1 et on obtient bien un cercle.

On peut le faire aussi pour obtenir un tore. Tu prends un carré $[0,1]^2$, tu identifies deux côtés opposés tu obtiens un cylindre puis tu identifies les deux autres côtés et tu obtiens un tore.

De manière formelle : si $X$ est un espace topologique et $A$ une partie de $X$, on note $X/A$ l'espace quotient dont la relation d'équivalence est d'avoir identifié tous les éléments de $A$ en une seule classe, et d'avoir laissé tous les autres éléments en des classes constituées d'un seul singleton. Par exemple un cercle s'écrit $[0,1]/\{0,1\}$. Exo : décrire un tore ^^

Dans le cas de ton cône, on peux prendre $X=[0,1]$ pour fixer les idées. On identifie les éléments de $[0,1] \times \{0\}$, c'est-à-dire que l'on réduit en un point tous les éléments du côté du carré. On obtient un triangle plein. Si on prend $X$ un cercle, $X \times [0,1]$ est un cylindre. Identifier $X \times \{0\}$ c'est regrouper en un seul point un côté du cylindre, on obtient le cône creux classique de la géométrie euclidienne à la papa.

Sinon pour décrire une pyramide, je pense qu'il y a rien à faire, vu qu'une pyramide est clairement homéomorphe à un cône. En gros c'est la même chose d'un point de vue topologique, il faut sans doute passer par de la géométrie pour décrire la différence.