Méthode de Newton

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Kazik

Méthode de Newton

Message non lu par Kazik »

Bonsoir,

je cherche à démontrer une relation dans cette méthode :

$$x_{n+1}=x_n-\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$

ou $(x_n)$ est une suite de point qui approche $\alpha$, le point ou s'annule $f$, fonction deux fois continue, deux fois dérivable, definie sur $I=[a,b]$ (on a aussi $f(a)<0<f(b)$).

Je n'est pas compris cette méthode (c'était dans une conférence sur les maths).
merci bcp.

[Edit: MB] Sujet déplacé.
guiguiche
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Re: Méthode de Newton

Message non lu par guiguiche »

Kazik a écrit :je cherche à démontrer une relation dans cette méthode ...
Je ne comprends ni cette phrase ni ce que tu attends précisément comme information. Il faudrait que tu reformules ton questionnement.
Kazik

Message non lu par Kazik »

Comment dire,
il y avait une conférence sur les méthodes de résolutions en biologie, Problème de zéros de fonctions.
En gros, ça parlait d'une résolution approchée de f(x)=0.
C'est alors qu'a était abordé la méthode de Newton. Dans cette méthode, cette égalité (voir post précédent) a était mise en avant.
J'en cherche une démonstration.

C'est plus clair ?
Arnaud
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Message non lu par Arnaud »

Oui.

Cette égalité n'est pas à démontrer, c'est en fait une description de la méthode utilisée.
La seule chose à démontrer dans la méthode, c'est son efficacité.

Un exemple par là :

http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Newton
Arnaud
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Kazik

Message non lu par Kazik »

Dans les notes que j'ai prises, l'intervenant disait que cette relation donnant $x_{n+1}$ en fonction de $x_n$ se démontre par le calcul ??
J'ai aussi noté que l'on peut programmer ceci sous Mapple ??
guiguiche
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Message non lu par guiguiche »

Nickel cet article pour une première approche.
Arnaud
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Message non lu par Arnaud »

Kazik a écrit :Dans les notes que j'ai prises, l'intervenant disait que cette relation donnant $x_{n+1}$ en fonction de $x_n$ se démontre par le calcul ??
Soit il s'est mal exprimé, soit tu as mal compris, ou les deux :D
Cette relation est posée, ou donnée au départ, et c'est effectivement la base de cette méthode.
J'ai aussi noté que l'on peut programmer ceci sous Mapple ??
Oui, ou autre, voir sur mon lien.
Arnaud
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Message non lu par rebouxo »

Kazik a écrit :Dans les notes que j'ai prises, l'intervenant disait que cette relation donnant $x_{n+1}$ en fonction de $x_n$ se démontre par le calcul ??
J'ai aussi noté que l'on peut programmer ceci sous Mapple ??
Oui, $x_{n+1}$ est l'intersection de la tangente est de l'axe des abscisses.
La tangente au point d'abscisse $x_{n}$ admet pour équation :
$$ y=f'(x_n)(x-x_n) + f(x_n) $$
Si $y=0$, alors $-\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)} + x_n = x$

Ce qui est la formule que l'on te donne.

Olivier
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Message non lu par kilébo »

Comme le dit Arnaud, cette formule ne se démontre pas, c'est bel et bien son utilité qui se démontre.

Je m'explique. En analyse numérique, les méthodes que tu rencontreras ne te donneront jamais des résultats exactes mais des résultats approchés de ton inconnue (ici la solution de l'équation $f(x) = 0$, mais cela peut-être aussi, par ex, la solution d'une équation différentielle). Ce qui se démontre donc en analyse numérique, c'est que la méthode utilisée pour obtenir l'approximation est une méthode convergente i.e. que sous certaines conditions sur la fonction et le point de départ, la suite considérée par la méthode de Newton sera convergente vers une solution de la fonction. Et c'est cela qui se démontre par calcul comme tu dis.

Saisis-tu la nuance ? D'un côté en mathématique formelle, on va chercher la solution exacte (et éventuellement montrer que c'est la seule). D'une autre côté, en analyse numérique, on va chercher à montrer que la méthode choisie va converger vers la solution cherchée. L'analyse numérique est tout à fait passionnante car elle regorge de trésor d'ingéniosité et de subtilité pour déjà trouver une méthode et montrer son efficacité (la convergence est un minimum, je dirais. Car il faut privilègier les méthodes à convergence rapide et surtout peu sensible aux erreurs d'arondis).
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Message non lu par rebouxo »

Oui, mais les formules ne viennent en générales pas comme cela. Il y a derrière une méthode (ici, l'intersection d'une tangente avec l'axe des abscisses). Je comprends votre point de vue (il est nécessaire, et en générale difficile, de démontrer que la méthode converge), il n'en reste pas moins que la formule provient d'un calcul...

La démonstration de la convergence repose, pour les méthodes d'approximation des équations $f(x) = 0$, sur le théorème des accroissements finis. celui donne une majoration de $|f'(x)|$ ce qui permet de conclure à la convergence de la suite.

Olivier
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Message non lu par Arnaud »

Sans vouloir être lourd, il s'agit de l'origine de cette formule, et non de sa "démonstration", ce qui à mon avis n'a pas de sens.
Arnaud
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Message non lu par rebouxo »

Oui je suis d'accord avec Arnaud. Il s'agit de l'origine de la méthode.

Mais, pour comprendre un problème de mathématiques il ne suffit d'avoir une preuve de sa validité. C'est à mon avis l'erreur commise par la réforme des maths modernes. Il faut aussi présenter un point de départ.
Je pense que Kazik pense à l'origine, qui permet d'avoir cette formule. Arnuad pense démonstration en tant que validité de la méthode. On n'est pas tout à fait au même niveau. Je pense que les deux points de vues sont nécessaires.

Olivier
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Message non lu par kilébo »

rebouxo a écrit :Oui, mais les formules ne viennent en générales pas comme cela. Il y a derrière une méthode (ici, l'intersection d'une tangente avec l'axe des abscisses). Je comprends votre point de vue (il est nécessaire, et en générale difficile, de démontrer que la méthode converge), il n'en reste pas moins que la formule provient d'un calcul...
Je suis d'accord avec toi Olivier, la "physique" que sous tend une méthode est souvent aussi intéressante que la raison pour laquelle cette méthode converge. Toutefois, pour jouer sur les mots (de notre intervenant), on ne démontre pas par calcul la formule donnant $x_{n+1}$ en fonction de $x_n$ même en détaillant, fusse par calcul, quelle est la l'idée d'origine de la méthode. Ce que l'on démontre c'est que la formule répond au besoin du problème.

Je reconnais que tout cela peut paraître comme étant un peu théorique et sans réel intérêt mais je ne suis pas tout à fait d'accord car sinon que dire de la formule de la sécante. On pourrait "démontrer" deux formules différentes ???? Cela n'a pas de sens. Ces deux méthodes trouvent leur utilité (théorique, au moins, pour la formule de Newton) mais ne donnant pas le résultat exacte, elles n'ont pas à être démontrées en tant que telle.

Et que dire aussi des méthodes à différences finies centrées très utilisées à l'origine dans les EDP, car "naturelles", et qui ce sont avérées être instables ?
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Message non lu par MB »

Sinon, pourquoi la fonction $f$ est-elle supposée deux fois dérivable ?
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Message non lu par rebouxo »

Démonstration est un mot qui a plusieurs sens. Voilà ce que dit mon PLI :
Demonstration (du latin demonstratio). 1.a. Action de rendre évidente, de prouver par l'expérience la vérité d'un fait, d'une donnée scientifique. 1.b. Log : Raisonnement établissant la vérité d'une proposition à partir d'axiomes que l'on a posés. 2. Action d'argumenter, auprès du public sur les qualités d'un produit, en le faisant fonctionner essayer ou goûter. 3. Marque extérieur manifestation de sentiments Démonstration de joie. 4. Manoeuvre militaire pour intimider l'adversaire ou l'induire en erreur.

Manifestement nous sommes plutôt dans le sens 1.b. (encore que démontrer la vérité ne me semble pas le meilleur des termes, il conviendrait de dire : démontrer les implications logiques, il me semble.)

Autre dico : démonstration : raisonnement destiné à montrer quelquechose.
etymologie : voir montrer. Dans démonstration il y a aussi l'action de mettre en évidence.

Tout cela pour dire que démonstration/démontrer sont des mots dont il faut parfois demander la signification. Surtout quand les personnes ne sont pas des matheux.
Je comprends bien votre point de vue, mais ce n'est pas le seul. Et surtout sur la démonstration, les positions ne peuvent pas être aussi tranchées. Comment expliquez-vous, que les mathémtiques expliquent aussi bien le monde, si vous ne fonctionner que dans un système purement déductif ? Autrement dit on tombe dans le paradoxe de Wigner : la déraisonnable efficacité des mathématiques.

Bon, je vais relire des choses la dessus. C'est toujours intéressant de s'interroger sur ces questions.

Olivier
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Message non lu par Arnaud »

MB a écrit :Sinon, pourquoi la fonction $f$ est-elle supposée deux fois dérivable ?
Pour que $\varphi(x)=x-\dfrac{f(x)}{f'(x)}$ soit dérivable, ce qui permet l'existence d'un point superattractif.
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Message non lu par rebouxo »

Arnaud a écrit :
MB a écrit :Sinon, pourquoi la fonction $f$ est-elle supposée deux fois dérivable ?
Pour que $\varphi(x)=x-\dfrac{f(x)}{f'(x)}$ soit dérivable, ce qui permet l'existence d'un point superattractif.
Et de majorer l'erreur...

Mais était-ce la question de MB ?

Olivier
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Message non lu par MB »

La question était plutôt de savoir si cette condition est nécessaire à la convergence de $(x_n)$ vers $\alpha$, car elle ne semble pas nécessaire à la définition de cette suite.
Kazik

Message non lu par Kazik »

Je vois que ça à ouvert un débat, je vais essayer d'être plus précis :

$f$ fonction deux fois continuement dérivable définie sur $I=[a,b]$ dont la dérivée $f'$ est strictement positive.
$f$ s'annule en un point $\alpha$ intèrieur au domaine $I$, ce point est unique et $f(a)<0<f(b)$.

Première méthode, dichotomie ... (je passe)

L'autre méthode, celle de Newton :
on prend $x_0$ dans l'intervalle $I$ et on construit par récurrence une suite de point $(x_n)n$ qui approche $\alpha$.
on approxime pour cela, pour tout entier $n$, $f$ par sa tangente en $x_n$ et on cherche l'abscisse de l'intersection de la tangente avec $(Ox)$.

On a alors $x_{n+1}=x_n-\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$ qui se démontre par le calcul.

(voila ce que j'ai écris dans mes notes).
nirosis
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Message non lu par nirosis »

Non ta dernière assertion est une définition de la suite $x_n$.

Sa convergence quant-elle se prouve, c'est surement ça qu'il a voulu dire.
Ca découle du théorème du point fixe (ou du théorème des accroisements finis).
Le seul point clé est de donner une bonne valeur de $x_0$.
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