Problème de l'année ...

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stpir
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Problème de l'année ...

Message par stpir »

Bonjour à tous,
Je m'excuse auprès des modérateurs si ce message n'entre pas dans l'esprit du forum. Je ne voulais pas encombrer la partie "étudiants".

Deux entiers consécutifs, n et n+1, ont tous les deux la somme de leurs chiffres qui est divisible par 2011.
Quelle est la plus petite valeur possible pour le nombre n ?


Merci pour vos réponses,

Stpir. :idea:

Tonn83
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Re: Problème de l'année...

Message par Tonn83 »

L'entier $n$ est plus grand que 10^223 (un 1 suivi de 223 zéros). Car sinon la somme des chiffres de $n$ ne pourrait excéder $9\times 223<2011$.
Pour simplifier, on peut noter $S(n)$ la somme des chiffres de l'entier $n$ écrit en base 10. Il peut être remarqué les deux observations suivantes, qui peuvent aider pour répondre à la question :
  • Si l'entier $n$ se termine par un chiffre différent de $9$, alors $S(n+1)=S(n)+1$.
  • Si l'netier $n$ se termine par exactement $k$ chiffres égaux à 9, alors $S(n)-S(n+1)=9k-1$
On peut donc commencer par chercher la valeur minimale de $k$ pour laquelle $9k-1$ est divisible par 2011. Autrement dit, chercher une solution de $9k+2011q=1$. L'algorithme d'Euclide donne
$2011=9\times 447-2011\times 2$

Il n'est pas difficile de montrer que $k=447$ est le plus petit entier positif pour lequel $9k-1$ est divisible par 2011.
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Tonn83

Tonn83
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Re: Problème de l'année...

Message par Tonn83 »

Le plus petit entier $n$ tel que $S(n)$ et $S(n+1)$ soient divisibles par 2011 s'écrit
1 quatre, 222 neufs, 1 huit puis 447 neufs.

Par ce qui précède, $n$ doit se terminer par exactement 447 neufs. Le chiffre qui précède ce blos est différent de neuf, on prend le plus grand chiffre possible avant neuf, donc huit. La somme $S(n)$ est plus grande que $447\times 9+8=2011\times 2+9=2011\times 3-2002$. Donc on construit $n$ de sorte que $S(n)=2011\times 3$. Afin de minimiser le nombre de chiffres, il faut utiliser le plus de fois possible le chiffre neuf. Donc on écrit $2002=4+222\times 9$. Et on en vient à trouver la valeur donnée ci-dessus. (Bon d'accord l'argument est quelque peu archaïque, mais il n'en est pas moins valable)
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Tonn83