Notations pour une somme

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Minibob59
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[Résolu] Notations pour une somme

Message par Minibob59 »

Bonjour à tous !

Je me posais une question sur les notations de sommes à plusieurs paramètres. Pour faire simple, y a-t-il égalité entre ces deux notations ?

$$\displaystyle\sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n} x_ix_j \qquad \text{et} \qquad \displaystyle\sum_{\substack{1 \leqslant i \leqslant n \\ 1 \leqslant j \leqslant n \\ i \neq j}} x_ix_j$$
Dernière modification par Minibob59 le jeudi 25 août 2011, 21:47, modifié 1 fois.
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girdav
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Re: Notations pour une somme

Message par girdav »

Le terme de droite vaut deux fois celui de gauche. Pour le voir, coupe la somme dans le terme de droite selon si $i<j$ ou $j<i$ et aide-toi de la symétrie en $i$ et en $j$. En fait (je crois que le problème vient des formes quadratiques), on peut définir une matrice symétrique de coefficients $x_ix_j$ : pour la première somme, c'est la somme des éléments au-dessus de la diagonale supérieure, et la seconde, c'est celle des éléments extra diagonaux. On peut définir une matrice $A$ avec $a_{ij}=1$ si $i\neq j$ et $0$ pour $i=j$ : le second terme est $^txAx$.
Dernière modification par girdav le jeudi 25 août 2011, 17:43, modifié 1 fois.

François D.
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Re: Notations pour une somme

Message par François D. »

Non. Dans la première, pour chaque valeur de $i$ entre 1 et $n$, $j$ ne peut prendre que les valeurs allant de $i+1$ à $n$ (s'il y en a). Dans la seconde, pour chaque valeur de $i$ entre $i$ et $n$, $j$ peut prendre toutes les valeurs entre 1 et $n$ sauf la valeur courante de $i$.

Edit : grillé, mais ce que je dis est simplement moins complet que ce que dit notre ami girdav :mrgreen: .

Minibob59
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Re: Notations pour une somme

Message par Minibob59 »

Je me disais bien qu'il y avait des doublons dans la deuxième somme !

Merci à vous ! =)
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