[1ère S] Equations du second degré

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau inférieur au baccalauréat.

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Jal
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[1ère S] Equations du second degré

Message par Jal »

Bonjour,

Je donne des cours particulier et cette après-midi un exercice m'a posé problème ce qui n'est pas génial quand on est censé être le prof...
C'est le tout dernier exercice du chapitre, qui demande de prendre des initiatives et il était dans le chapitre équations du second degré.
Dans un cercle de rayon 4cm, peut-on inscrire un triangle AMB isocèle, de sommet principal M, tel que MA fasse le double de AB?
Merci pour votre aide,
Bonne soirée.

evariste_G
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Re: [1ère S] Equations du second degré

Message par evariste_G »

En faisant un schéma codé, les choses sont claires ... Pythagore sera ton ami ici.
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Jal
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Re: [1ère S] Equations du second degré

Message par Jal »

Qu'entends-tu par schéma codé?

Je ne vois pas comment Pythagore arrive (même si je me dis bien qu'il n'y a pas d'autre solution vu qu'on veut qu'il apparaisse une équation du second degré et qu'avec un niveau seconde en géométrie y a pas grand chose d'autre...) car si le triangle est inscrit, son hypoténuse est un diamètre et dans ce cas il n'est pas possible que les deux autres côtés fassent 16cm car alors Pythagore n'est pas respecté. Où ai-je dit une bêtise?

Arnaud
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Re: [1ère S] Equations du second degré

Message par Arnaud »

Jal a écrit : car si le triangle est inscrit, son hypoténuse est un diamètre
Heu, tu parles du triangle isocèle là ?
Arnaud
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evariste_G
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Re: [1ère S] Equations du second degré

Message par evariste_G »

Au temps pour moi ... Comme je l'ai dit, quand on fait un dessin codé, tout est clair ... si on regarde bien (ce qui n'a pas été mon cas :D).
Non, Pythagore n'est pas vraiment utile (a priori, mais il ne faut jurer de rien).
Quant à l'histoire de l'hypoténuse, ... je suis comme la fosse là (avec une autre orthographe bien sûr) ... :shock: Cela dit, je réponds à ta première question : une figure codée, c'est une figure où les mesures égales sont marquées d'un même symbole par exemple.
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evariste_G
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Re: [1ère S] Equations du second degré

Message par evariste_G »

Je viens de m'apercevoir que je n'avais pas fait avancer le schmilblic ... Bon, en fait, tout dépend des notions déjà acquises.
J'ai bien une solution, qui fait intervenir le second degré, mais aussi Al-Kashi et les formules trigonométriques, donc ça fait beaucoup pour un début d'année. Mais je l'expose quand-même :

Dans le triangle AOM isocèle en O, d'après Al-Kashi : $AM^2=32(1-\cos\alpha)$, où $\alpha=\widehat{AOM}$.
Dans le triangle AOB isocèle en O, on a de même : $AB^2=32(1-\cos 2\alpha)=64(1-1\cos^2 \alpha)$.

On veut que $AM=2AB$, donc $AM^2=4AB^2$ soit après simplification : $1-\cos\alpha = 8-8\cos^2 \alpha$, d'où $8\cos^2 \alpha - \cos\alpha-7=0$. En posant $C=\cos \alpha$, on a une équation polynomiale de degré 2 : $8C^2-C-7=0$ admettant une unique solution comprise entre -1 et 1 : $-\frac{7}{4}$. Donc il existe bien un triangle AMB isocèle en M inscrit dans le cercle de rayon 4 cm tel que AM=2AB.
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Arnaud
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Re: [1ère S] Equations du second degré

Message par Arnaud »

Soit $O$ le centre du cercle circonscrit au triangle isocèle et $I$ le milieu de $[AB]$, on utilise bien le théorème de Pythagore dans $AIM$ et $AOI$, puis on compare les égalités pour obtenir une équation du second degré.
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Re: [1ère S] Equations du second degré

Message par Mikelenain »

En introduisant la médiane issue du sommet du triangle isocèle (ça doit être M, ce sommet, si je me souviens bien), elle fait aussi office de hauteur, bissectrice et médiatrice. On voir alors apparaître un angle droit (youpla, Pythagore est là). Ça doit pouvoir aider.
On peut aussi penser à la prolonger jusqu'au cercle et faire ainsi apparaître deux triangles rectangles en A et B symétriques par rapport à cette droite.

Voilà deux pistes de travail permettant d'introduire Pythou (comme l'appelait une élève à moi ^.^ )
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Re: [1ère S] Equations du second degré

Message par Framboise »

Bonjour,

Il me semble que le problème est quelque peu vague ( volontairement pour une partie à "initiative" ? ).
Dans un cercle de rayon 4cm, peut-on inscrire un triangle AMB isocèle, de sommet principal M, tel que MA fasse le double de AB?
Tel que et strictement, on demande de répondre oui ou non éventuellement assorti de conditions. Une démo serait la bienvenue.
Il est évident qu'un tel triangle isocèle est constructible sans problème et que l'on peut ensuite tracer le cercle passant par ses trois sommets centré à l'intersection commune de ses 3 médiatrices. Par homothétie, on peut ajuster la taille d'un tel triangle pour avoir un cercle de rayon 4 cm. La réponse au problème est OUI, sans aucun calcul, et pas seulement pour 4 cm.
On peut, en plus, se poser la question de trouver le moyen géométrique de tracer un tel triangle en partant du cercle, ou d'en trouver les dimensions.
J'ai le virus des sciences, ça se soigne ?

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Re: [1ère S] Equations du second degré

Message par evariste_G »

Arnaud a écrit :Soit $O$ le centre du cercle circonscrit au triangle isocèle et $I$ le milieu de $[AB]$, on utilise bien le théorème de Pythagore dans $AIM$ et $AOI$, puis on compare les égalités pour obtenir une équation du second degré.
C'est ce à quoi j'avais pensé au début, mais à bien y réfléchir, comment obtenir la hauteur ? C'est pourquoi j'ai laissé tombé mais c'est vrai qu'ici, on ne nous demande pas les longueurs, mais juste voir si cette configuration est possible ... Dans ce cas, c'est en effet très simple mais sans grand intérêt à mes yeux.
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Jal
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Re: [1ère S] Equations du second degré

Message par Jal »

Merci pour vos participations.

evariste_g, ta solution fonctionne bien (juste c'est $-7/8$ le résultat) mais par contre, cela me semble bien compliqué d'introduire Al-Kashi (d'ailleurs je me rappelais plus que ce résultat avait un nom... pour moi c'est plus l'utilisation de la définition avec cosinus du produit scalaire et de celle de la norme), la formule de trigonométrie pour le $cos(2\alpha)$ et le changement de variable $C = cos(\alpha)$ en pensant que la solution doit être entre -1 et 1 (et par la même supprimer la solution 1 car alors l'angle est nul et le problème n'existe plus). Il me semble que toutes ces notions sont vues en 1ère et non en 2nd, je me trompe? (encore que je n'ai pas vu Al-Kashi dans le nouveau programme de 1ère S)

Pour les solutions de Arnaud et de Mikelenain se servant de Pythagore grâce à la médiatrice, je ne vois pas trop comment faire aboutir car apparaît dans une des égalités un $IO^2$ et dans l'autre un $(IO+4)^2$...?

Pour Framboise, effectivement après un unique essai en prenant AB = 4cm, je trouve bien un cercle inscrit de rayon 4cm. Et en plus l'angle de 151° qu'on a trouvé avec la solution de evariste_g. Mais quel est l'intérêt de cet exercice alors dans un chapitre d'équation du second degré?

Donc finalement, quelqu'un trouve-il une démonstration compréhensible pour un début de 1ère S?

Merci encore pour votre aide.

Arnaud
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Re: [1ère S] Equations du second degré

Message par Arnaud »

Jal a écrit : Pour les solutions de Arnaud et de Mikelenain se servant de Pythagore grâce à la médiatrice, je ne vois pas trop comment faire aboutir car apparaît dans une des égalités un $IO^2$ et dans l'autre un $(IO+4)^2$...?
Développe...puis substitution grâce au $MA^2$.
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Jal
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Re: [1ère S] Equations du second degré

Message par Jal »

Arnaud a écrit :
Jal a écrit : Pour les solutions de Arnaud et de Mikelenain se servant de Pythagore grâce à la médiatrice, je ne vois pas trop comment faire aboutir car apparaît dans une des égalités un $IO^2$ et dans l'autre un $(IO+4)^2$...?
Développe...puis substitution grâce au $MA^2$.
J'ai : $AI^2+IO^2=4^2$ et $AI^2+(IO+4)^2=AM^2$, donc si je développe le $(IO+4)^2$ qui est dans l'égalité avec le $AM^2$ je vois pas comment substituer par ce dernier...?
Il doit y avoir un truc que je ne vois pas car je me retrouve éventuellement avec $8IO+32=AM^2$ mais deux inconnues une équation ça mène pas bien loin, surtout l'une au carré.

Arnaud
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Re: [1ère S] Equations du second degré

Message par Arnaud »

$AI=\dfrac{1}{4} AM$
Arnaud
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Jal
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Re: [1ère S] Equations du second degré

Message par Jal »

Arnaud a écrit :$AI=\dfrac{1}{4} AM$
Ah oui c'est vrai, j'en oubli l'énoncé.

Ils vont tout de même loin en proposant de résoudre à des début de 1ère S, un système, déjà pas facile à trouver, et surtout avec des carrés et une substitution menant à une équation du second degré.

Merci à tous pour votre aide.

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Re: [1ère S] Equations du second degré

Message par Framboise »

Il faudrait préciser ce que l'on cherche, en dehors d'un simple oui/non.

J'arrive simplement à un triangle de base AB = 3.87298 cm avec notamment un calcul passant de sin à cos.
sin ( M/2 ) = 0.25
cos ( idem ) = sqrt( 1 - 0.25^2 ) = .968245...
base = rayon * .968245...

On pourrait "escamoter" la trigo en utilisant Pyth. et les triangles semblables.
Jal a écrit :Pour Framboise, effectivement après un unique essai en prenant AB = 4cm, je trouve bien un cercle inscrit de rayon 4cm. Et en plus l'angle de 151° qu'on a trouvé avec la solution de evariste_g.
? Non, ce n'est pas égal bien que proche. C'est le triangle qui est inscrit.
Le triangle comporte des angles de 28.955...° et 75.522... °.
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Jal
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Re: [1ère S] Equations du second degré

Message par Jal »

Avec la méthode de Arnaud, on trouve $AB=\sqrt{15}$ et $IO = 7/2$.

Framboise
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Re: [1ère S] Equations du second degré

Message par Framboise »

Jal a écrit :Avec la méthode de Arnaud, on trouve $AB=\sqrt{15}$ et $IO = 7/2$.
Oui, c'est heureusement la même valeur:
$AB=\sqrt{15} = 4 * \sqrt{1 - (1/4)^2} = 4*.968245... $
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Inconnue
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Re: [1ère S] Equations du second degré

Message par Inconnue »

Bonsoir,
Je suis désolée mais j'ai beaucoup de mal à comprendre cet exercice, j'en suis à Pythagore et je trouve AI²=(IO+4)² mais pour AM² je n'arrive pas à trouver la valeur
Pouvez-vous m'aider svp, c'est assez urgent merci d'avance

balf
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Re: [1ère S] Equations du second degré

Message par balf »

J''ai proposé une esquisse de solution dans le fil directement créé par Inconnue, qui est purement géométrique et fournit une construction dudit triangle mais suppose qu'on finisse par une homothétie. Je ne sais pas si c'est toujours une notion connue en première…

B.A.