"je crois que c'est même mieux que ça : condition nécessaire et suffisante"
Oui.
"ben, je comprends rien alors à ce que tu veux dire..."
Oui. Je vais essayer de reprendre autrement. Je patouille sur mes explications, c'est clair, car je ne sais pas comment bien poser mon problème ni exactement où est le problème, ce qui est d’autant plus gênant qu'un problème bien posé est déjà en partie résolu.
"Ta somme ne peut pas être une somme finie à partir du moment où tu mets des $\cdots$."
C'est la valeur de S qui est finie ( | r | < 1 ) ou infinie. Le nombre de termes vu le $\cdots$ est lui infini, bien sûr. J'ai utilisé un raccourci de langage ambigu tu as raison.
"T'es pas capable de calculer $\ds\sum_{k=0}^n r^k$ ? "
Si.
Bon, alors je vais poser mon problème autrement.
- Le but n'est pas de calculer S, vu que cela est déjà fait.
- Comment faire comprendre ou argumenter que le calcul au début de S = 1 / ( 1 - r ) n'est pas valide si S ne converge pas ( <=> | r | >= 1 ).
- L'argument ne doit pas être trop haut niveau car la manipulation de l'infini n'est pas évidente pour un non mathématicien ( un informaticien de gestion... ) et je ne sais plus quelle autre explication convaincante présenter.
François D. a écrit :À mon sens le ver est dans le fruit dès le départ : poser $\ds S=1+r+r^2+\dots=\sum_{k=0}^{+\infty}r^k$ suppose que $S\in\R$, ce qui n'est vrai que pour $|r|<1$, en tous cas si $r$ est un réel.
Sinon, on en revient à ce que je disais : $\ds S(X)=\sum_{k=0}^{+\infty}X^k=\dfrac{1}{1-X}$ dans le cadre de $\R[[X]]$ des séries formelles ...
Toute dernière hypothèse : les nombres $p$-adiques ?
On a bien r réel.
Je crois qu'il y en a un qui va faire des bonds si je lui parle de série formelle ou de nombre $p$-adiques.
L'idée des séries formelles m'intéresse, je vais creuser cela pour moi. On obtient une équation semblable.
Je ne vois pas du tout comment utiliser les nombres $p$-adiques.