Procédure sous Maple

Normalement k=1 puisque le premier "pivot" convient (pas besoin de permuter).

Kazik

C'est bon, j'ai testé cherche_le_pivot chez moi, ca marche.

1 2 3
4 5 6
cherche_le_pivot(A,1) renvoi [1,1] .

0 2 3
4 5 6
cherche_le_pivot(A,1) renvoi [2,1]

0 2 3
0 0 6
cherche_le_pivot(A,1) renvoi [1,2]

C'est cela?
On peut donc trouver [i,j] tel que $a_{i,j}$ différent de 0 mais ensuite?

Une fois que l'on a un pivot en (i,j), il faut combiner chaque ligne k>i avec la ligne i pour que le coefficient (k,j) soit nul (la combinaison utilise le pivot).

Kazik

par exemple pour
1 2 3
4 5 6

cherche_le_pivot renvoi [1,1].
donc on doit combiner [2,1] avec [1,1] pour obtenir un 0 en [2,1] ?

Oui, c'est cela : regarde mes premiers messages, je t'avais donné les combinaisons.

Kazik

[2,1]-4[1,1] dans ce cas.
Mais plus généralement?

Un réel non nul sert essentiellement dans un quotient où il figure au dénominateur : peux-tu généraliser toi-même sous la forme :
$$L_k \leftarrow L_k - \alpha L_i$$
avec $\alpha$ à préciser en fonction du pivot et d'un autre coefficient.

Kazik

Je dirais :
$\alpha=\frac{L_k}{L_i}$ mais il faudrait des coefficients en faite non ?

Non !

$L_i$ désigne une ligne, et donc il est difficile de diviser un ligne d'une matrice par une autre.

L'opération décrite au-dessus permet d'éliminer certaines valeurs dans une même ligne.

Kazik

Si [i,j] désigne le coefficient que renvoi cherche_le_pivot alors on regarde [i+1,j].
S'il est différent de 0, on fait $L_{i+1}-[i+1,j]L_i$ ?
S'il est égale à 0, on passe a la ligne suivante $L_{i+2}$

C'est mieux?

$$L_{i+1}-\dfrac{[i+1,j]}{[i,j]} \times L_i$$

Raison pour laquelle cela doit être différent de 0

Kazik

Arnaud a écrit :$$L_{i+1}-\dfrac{[i+1,j]}{[i,j]} \times L_i$$

Raison pour laquelle cela doit être différent de 0

Ca roule!!
Mais comment qu'on fait pour dire a maple de faire ceci?
(je matrise pas encore toutes les fonctionalités de ce super log)

Je n'utilise plus Maple depuis un certain temps, donc là je ne peux pas t'aider....désolé.

Kazik

Arnaud a écrit :Je n'utilise plus Maple depuis un certain temps, donc là je ne peux pas t'aider....désolé.

Ok c'est pas grave, je crois avoir trouver avec l'aide en ligne :
on utilise la commande Addrow.

On obtient alors
4 5 6
0 3/4 3/2

(la matrice étant
4 5 6
1 2 3).

Une fois ceci fait, que doit on faire?

Tu as comme exemple une matrice assez simple, mais il se peut que tu doives refaire la même manipulation pour d'autres lignes afin d'obtenir une matrice traingulaire supérieure, quitte à avoir des colonnes nulles.

Supposons maintenant qu'ayant fait toutes ces opérations tu obtiennes une matrice tri-sup.
Dans ce cas tu refais la même chose pour les colonnes.
Une fois ça de fait, tu réordonnes les colonnes de façon à avoir les colonnes nulles ( si il y en a ) à la fin, et dans ce cas le rang de ta matrice sera le nombre de colonnes non-nulles.

Dans ton exemple, on obtiendra
$$\left(
\begin{array}{ccc}
4 & 0 & 0\\
0 & \dfrac{3}{4} & 0
\end{array} \right)$$

Donc la matrice est de rang 2.

Kazik

Je ne comprend pas comment on arrive a la matrice que vous obtenez ?

Dans la première ligne, le but est d'éliminer les termes $5$ et $6$.
Pour cela on ajoute un multiple de la première colonne ( respectivement $-\dfrac{5}{4}$ et $-\dfrac{6}{4}$ ).

On fait pareil avec la 2e ligne : on essaye d'éliminer le terme $\dfrac{3}{2}$, en choisissant comme pivot $\dfrac{3}{4}$...

Kazik

J'essaye de vous dire ce que j'ai pour l'instant compris :
Je prend une matrice
1 2 3
4 5 6
7 8 9

on cherche le pivot, ici on va trouver $[1,1]$
on fait alors
$L_2 \leftarrow L_2 - \dfrac{[2,1]}{[1,1]} L_1$
$L_3 \leftarrow L_3 - \dfrac{[3,1]}{[1,1]} L_1$

On obtient alors
1 2 3
0 -3 -6
0 -6 -12

Qu'est qu'on fait ensuite ?

On reste cool, on se tutoit

Tu as choisit comme pivot $1$, puis éliminé tous les coeffs en-dessous dans la même colonne.
Faut faire pareil avec la 2e colonne, c'est-à-dire éliminer tout ce qui est en dessous de la diagonale ( bref le $-6$ ).
Comme tu as un $0$ dans la 2e ligne, c'est mieux de l'utiliser.

Donc tu additionnes $-2$ fois la 2e ligne....bla bla.

Une fois ça de fini, tu as une matrice triangulaire supérieure, c'est-à-dire qu'il n'y a que des $0$ sous la diagonale.

On recommence la même chose pour les termes au-dessus de la diagonale, cette fois-ci en opérant sur les colonnes.

Kazik

Ok on peut se tutoyer!
Mais je comprend pas comment je vais faire ceci sous Maple !!

J'arrive a trouver le pivot mais ensuite :/
Tu peut m'aider ?