Le problème que nous a aimablement donné notre professeur me pose vraiment problème . Alors si quelqu'un pourrais me donner des pistes de recherche.
Enoncé:
On considère les intégrales impropres $$I_p=\int\limits_0^{+\infty} x^pe^{-x}dx$$ et $$J_p =\int\limits_0^{+\infty} \dfrac{x^p}{e^x-1}dx$$, avec $p$ un entier naturel.
3- Exprimer $I_{p+1}$ à l'aide de $I_p$.
4- Sans calculer $I_p$, déterminer la limite de $I_p$ quand $p$ tend vers $+\infty$.
6- Montrer l'existence d'un réel $M$ tel que pour tous $p$ (entier naturel non nul), $J_p-I_p \le M \times I_p - 1$.
7-Concluree quant à la valeur de la limite de $J_p$ lorsque $p$ tend vers $+\infty$.
j'ai pas de pistes sauf pour la 6ème je pensais me servir de la définition de $(J_p-I_p)=O(I_p-1)$ parce que l'inégalité ressemble à la définition de la notation de Landau. Pour 3, 4, 7 je bloque dès le début je ne vois pas la technique a utilisé.
Merci d'avance pour vos réponses.
[Edit Arnaud : LaTeX : regarde les balises à gauche, cela te permettra de faire des formules lisibles]
[2ème année de prépa] Petit problème
Re: [2ème année de prépa] Petit problème
votre prof pense aimablement à entrainer votre cerveau en vue des epreuves terribles à venirBlichb/@ch a écrit :Le problème que nous a aimablement donné notre professeur ....
pour le 4) a la louche, comme toute les quantités considérée sont positive, et que $x \rightarrow x^p$ croissante:
$I_p=\int\limits_0^{+\infty} x^pe^{-x}dx =\int\limits_0^2 x^pe^{-x}dx + \int\limits_2^{+\infty} x^pe^{-x}dx \ge \int\limits_0^2 x^pe^{-x}dx + 2^p \int\limits_2^{+\infty}e^{-x}dx $ ...je te laisse finir ...
la grossiereté de cette minoration laisse penser que $I_p$ tend vers l'infini "encore plus fortement" que $p \rightarrow 2^p$
-
- Sujets similaires
- Réponses
- Vues
- Dernier message
-
- 17 Réponses
- 1754 Vues
-
Dernier message par RIKI
-
- 4 Réponses
- 1230 Vues
-
Dernier message par Billy the Kid
-
- 0 Réponses
- 1609 Vues
-
Dernier message par Gwaloe
-
- 8 Réponses
- 802 Vues
-
Dernier message par MB
-
- 15 Réponses
- 1600 Vues
-
Dernier message par xjea67