[2ème année de prépa] Petit problème

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Blichb/@ch

[2ème année de prépa] Petit problème

Message non lu par Blichb/@ch »

Le problème que nous a aimablement donné notre professeur me pose vraiment problème . Alors si quelqu'un pourrais me donner des pistes de recherche.

Enoncé:
On considère les intégrales impropres $$I_p=\int\limits_0^{+\infty} x^pe^{-x}dx$$ et $$J_p =\int\limits_0^{+\infty} \dfrac{x^p}{e^x-1}dx$$, avec $p$ un entier naturel.

3- Exprimer $I_{p+1}$ à l'aide de $I_p$.
4- Sans calculer $I_p$, déterminer la limite de $I_p$ quand $p$ tend vers $+\infty$.
6- Montrer l'existence d'un réel $M$ tel que pour tous $p$ (entier naturel non nul), $J_p-I_p \le M \times I_p - 1$.
7-Concluree quant à la valeur de la limite de $J_p$ lorsque $p$ tend vers $+\infty$.

j'ai pas de pistes sauf pour la 6ème je pensais me servir de la définition de $(J_p-I_p)=O(I_p-1)$ parce que l'inégalité ressemble à la définition de la notation de Landau. Pour 3, 4, 7 je bloque dès le début je ne vois pas la technique a utilisé.

Merci d'avance pour vos réponses.

[Edit Arnaud : LaTeX : regarde les balises à gauche, cela te permettra de faire des formules lisibles]
Arnaud
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Message non lu par Arnaud »

Vite fait : pour la 3) essaye une intégration par partie.
Arnaud
Un peu d'info - Pyromaths - Pas d'aide en MP (non plus)
guiguiche
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Message non lu par guiguiche »

Une IPP pour la question 3.
Es-tu sûr de la définition de Jp que tu donnes ?
Blichb/@ch

Message non lu par Blichb/@ch »

Pardon je suis bête c'est l'intégrales de $$J_p =\int\limits_0^{+\infty} \dfrac{x^p}{e^x-1}dx.$$
merci je vais voir pour l'ipp.
acid24

Re: [2ème année de prépa] Petit problème

Message non lu par acid24 »

Blichb/@ch a écrit :Le problème que nous a aimablement donné notre professeur ....
votre prof pense aimablement à entrainer votre cerveau en vue des epreuves terribles à venir :twisted:

pour le 4) a la louche, comme toute les quantités considérée sont positive, et que $x \rightarrow x^p$ croissante:
$I_p=\int\limits_0^{+\infty} x^pe^{-x}dx =\int\limits_0^2 x^pe^{-x}dx + \int\limits_2^{+\infty} x^pe^{-x}dx \ge \int\limits_0^2 x^pe^{-x}dx + 2^p \int\limits_2^{+\infty}e^{-x}dx $ ...je te laisse finir ...
la grossiereté de cette minoration laisse penser que $I_p$ tend vers l'infini "encore plus fortement" que $p \rightarrow 2^p$
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