Anneau et éléments inversibles

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Modérateur : gdm_sco

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paspythagore
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Anneau et éléments inversibles

Message par paspythagore »

Bonjour.

J'essaie de comprendre cet exercice corrigé :
Soient $p_1, \cdots, p_r\in\Z$ des nombres premiers deux à deux distincts.
Montrer que $S=\{n\in\Z$, tel que $n\notin\cup_1^rp_i\Z\}$ est une partie multiplicativement stable de $\Z$

Soient $s,t\in S$. Comme $p_i$ ne divise pas $s$ et $t$, il ne divise pas $st$. Ceci est vrai pour tout $i$, donc $st\in S$. De plus, $1\in S$. Donc $S$ est multiplicativement stable.

Montrez qu'un élément $m/s\in S^{-1}\Z$ est inversible dans $S^{-1}\Z$ si et seulement si $m\in S$.

Si $m/s\in S^{-1}\Z$ est inversible il existe $n/t\in S^{-1}\Z$ tel que $(m/s)(n/t)=1$, autrement dit $mn=st$. Il en résulte qu'un diviseur premier de $m$ divise $st$, donc $s$ ou $t$. En conséquence $s/m\in S^{-1}\Z$. C'est l'inverse de $m/s$.
Montrez qu'un élément $m/s\in S^{-1}\Z$
Qu'est ce que $S^{-1}\Z$ ?
La classe de l'ensemble des inverses de $S\Z$ ?
La classe de l'ensemble des inverses de $S\Z$ appartenant à $\Q$ ?

Que devient la condition
$n\notin\cup_1^rp_i\Z\}$
avec des éléments de type $m/s$ ?

Merci de m'éclairer ?

balf
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Re: Anneau et éléments inversibles

Message par balf »

Si S est une partie multiplicative de Z, S$^{-1}$Z désigne l'anneau des fractions dont le dénominateur est dans S. Si S est égal à Z*, on obtient tout simplement Q.

La même construction que pour Q peut se faire avec n'importe quel anneau A et n'importe quelle partie multiplicative S de A (ne contenant pas 0) : on obtient alors l'anneau des fractions de A à dénominateur dans S, noté S$^{-1}$A. Si A est un anneau intègre et si S = A$\smallsetminus${0}, on obtient le corps des fractions de A.

B.A.

paspythagore
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Re: Anneau et éléments inversibles

Message par paspythagore »

Merci beaucoup.