[Premier cycle] Fonctions continues ou C1

[Seb]

Salut,

J'ai trouvé deux exercices amusants et j'aimerais savoir comment vous les rédigeriez :

1) Si $f : [0; 1] \longrightarrow [0; 1] \times [0; 1]$ est de classe $\mathcal{C}^1$, elle ne peut être surjective.
2) Soit $f : \R^d \longrightarrow \R^d$ continue et $(u_n)_{n \in \N}$ une suite défine par $u_0 \in \R^d$ et $u_{n+1} = f(u_n)$ pour tout $n \in \N$.

Montrer que si $(u_n)$ a un unique point fixe, elle converge vers lui.

[martini_bird]

Salut à tous (c'est mon premier post ici),

La 2) est fausse (ou bien il manque des hypothèses): contre-exemple $d=1$, $f(x)=x+\arctan x$ et $u_0\neq 0$.

Pour la 1), je ne mettrais pas non plus ma main au feu (peut-être un contre-exemple avec une courbe de Lissajou avec un rapport de période irrationnel?).

Cordialement.

PS:

si $(u_n)$ a un unique point fixe,

j'ai supposé que tu voulais dire: si $f$ a un unique point fixe.
Sinon, qu'est-ce qu'un point fixe pour une suite? Un rang tel que $u_n=n$?

[Seb]

Erreur d'inattention de ma part : pour le 2), il fallait lire "si (u_n) a une unique valeur d'adhérence, elle converge vers elle", et c'est vrai !!

[nirosis]

Tout d'abord, bienvenue à vous 2 !

Pour la 2),

En gros on part de l'hypothèse, "si la suite $(u_{n})_{n}$ est convergente".
On va appeler $d$ sa limite.

On cherche donc à prouver : $f(d)=d$

Pour ça, on peut penser écrire :

$|f(d)-d|=|f(d)-f(u_n)+f(u_n)-u_n+u_n-d|$

Ensuite on remarque :

$|f(d)-f(u_n)|$ tend vers 0 vu la continuité de $f$ et vu que $u_n$ tend vers $d$.

$f(u_n)-u_n$ tend évidemment vers 0.

$u_n - d$ tend aussi vers 0.

Après avec plus de rigueur, il faut faire attention aux rangs choisis et mettre des $\epsilon$ un peu partout...

Si y'a une erreur, autant pour moi :(

[nirosis]

Au fait, Seb, peux-tu t'inscrire au forum. Ca prend 10 secondes et c'est beaucoup plus pratique pour la suite, si tu as l'occasion de revenir parmi nous

[gothmog]

[c'est Seb ; en fait je m'étais déjà enregistré sous le pseudo de gothmog une fois où j'avais répondu à une question dans une autre rubrique.]

Je n'ai pas très bien compris ce que tu as fait ; l'exercice 2 consiste à montrer que si la suite $(u_n)_{n \in \N}$ définie par $u_0 \in \R^d$ et $u_{n+1}= f(u_n)$ pour tout $n \in \N$ a une unique valeur d'adhérence, elle converge.

Je ne vois donc pas comment tu pourrais répondre à la question en supposant la suite convergente.

Par contre, la première étape consiste effectivement à montrer que l'unique valeur d'adhérence $\lambda$ est point fixe de $f$. C'est facile : il existe une sous-suite $(u_{\varphi(n)})_{n \in \N}$ qui converge vers $\lambda$ par hypothèse, mais alors par continuité de $f$, la suite $(f(u_{\varphi(n)}))_{n \in \N}$ converge vers $f(\lambda)$, en d'autres termes la suite $(u_{\varphi(n)+1})_{n \in \N}$, extraite de $(u_n)_{n \in \N}$, converge vers $f(\lambda)$ d'où $f(\lambda) = \lambda$ par unicité de la valeur d'adhérence de $(u_n)_{n \in \N}$.

Je vous laisse continuer...

[nirosis]

Ok j'avais pas bien compris l'énoncé et en plus je croyais qu'une suite qui avait une seule valeur d'adhérence était forcément convergente... Mais ça ne marche que dans un compact.. (quelqu'un aurait un contre-exemple de ça ?) à part ça, je croyais qu'il fallait montrer que c'etait un point fixe, tout faux quoi !.

Bref la valeur d'adhérence unique est nécessairement un point fixe de $f$... Jusque là ok. Je réfléchirai à la suite.

[MB]

Salut à tous (c'est mon premier post ici)

Bienvenu martini_bird.

@gothmog : Pour l'instant je ne vois pas de solution immédiate permettant de conclure rapidement (f n'est pas contractante). Je vais essayer d'y réfléchir dès que j'aurais le temps. J'espère quand même que quelqu'un proposera une solution avant.

[gothmog]

Contre-exemple pour nirosis : la suite réelle $(u_n)_{n \in \N}$ définie par $u_{2n} = n$ et $u_{2n+1} = 0$ pour tout $n \in \N$ a une unique valeur d'adhérence dans $\R$, mais ne converge pas.

[nirosis]

Contre-exemple pour nirosis : la suite réelle $(u_n)_{n \in \N}$ définie par $u_{2n} = n$ et $u_{2n+1} = 0$ pour tout $n \in \N$ a une unique valeur d'adhérence dans $\R$, mais ne converge pas.

Merci, j'y avais pas pensé.

[martini_bird]

Salut,

une proposition pour l'exercice 2.

2) Soit $f : \R^d \longrightarrow \R^d$ continue et $(u_n)_{n \in \N}$ une suite défine par $u_0 \in \R^d$ et $u_{n+1} = f(u_n)$ pour tout $n \in \N$.

Montrer que si $(u_n)$ a un unique point d'adhérence, elle converge vers lui.

L'idée est de partitionner $(u_n)$ en une partie convergente et une partie divergente vers l'infini: soit $B=B(\lambda, 1)$ la boule unité ouverte centrée sur l'unique valeur d'adhérence de $(u_n)$. Alors on peut conidérer la suite extraite $(u_{\varphi(n)})$ de $(u_n)$ telle que pour tout $n$, $u_{\varphi(n)}\in B$. Cette suite converge évidemment vers $\lambda$.

S'il existe seulement un nombre fini de points $u_n}\not\in B$, la suite $(u_n)$ est en fait contenue dans un certain compact et la question est résolue.

Sinon, soit $(u_{\psi(n)})$ la suite extraite de $(u_n)$ telle que pour tout $n$, $u_{\psi(n)}\not\in B$. Tout compact (et donc toute boule de centre $\lambda$) ne contient alors qu'un nombre fini de termes $(u_{\psi(n)})$ (sinon, $(u_{\psi(n)})$ aurait une nouvelle valeur d'adhérence).

Fixons un réel $M>0$ et considérons un $\varepsilon >0$ quelconque. Nous avons donc que:

• il existe un rang $N$ tel que pour tout $n>N$, $\| u_{\varphi(n)})-\lambda\|<\varepsilon$.
• il existe un rang $N'$ tel que pour tout $n>N'$, $\| u_{\psi(n)}-\lambda\|>M$.

Pour la suite$(u_n)$, celà signifie qu'au delà d'un certain rang, on a donc soit des termes tels que $\|u_n-\lambda\|<\varepsilon$ soit des termes tels que $\|u_p-\lambda\|>M$. En particulier, on peut trouver $p$ et $n$ tel que $p=n+1$.

Conclusion:
il existe un réel $M>0$ tel que pour tout $\varepsilon>0$, $\|u_n-\lambda\|<\varepsilon$ et $\|u_{n+1}-\lambda\|>M$, soit encore:
$\exists M>0\;, \forall\varepsilon>0\;, \|u_n-\lambda\|<\varepsilon$ et $\|(f(u_n)-\lambda\|>M$
ce qui contredit la continuité de $f$ au point $u_n$.

Cordialement.

EDIT: ma proposition de preuve ne tient pas. :(

J'ai montré que
$\exists M>0\;, \forall\varepsilon>0\;, \exists n\in\mathbb{N}\;, \|u_n-\lambda\|<\varepsilon$ et $\|(f(u_n)-\lambda\|>M$

Mais ce n'est pas suffisant pas pour contredire la continuité de $f$.

[martini_bird]

Salut,

pour l'exercice 1

1) Si $f : [0; 1] \longrightarrow [0; 1] \times [0; 1]$ est de classe $\mathcal{C}^1$, elle ne peut être surjective.

On a le droit d'utiliser le théorème de Baire ou c'est tricher?

[gothmog]

Pour la fin de l'exercice 2), j'ai moi aussi pensé à partitionner $\N$ en deux ensembles et d'extraire ainsi deux sous-suites de $(u_n)$, l'une dont le module tend vers l'infini, l'autre qui converge vers $\lambda$.
Il s'agit alors (ça marche mais c'est chiant à écrire) de dessiner les intervalles induits par la partition de $\N$ qu'on a obtenue et de choisir le premier entier dans un intervalle sur deux. On obtient une sous-suite $(u_{\psi(n)})$ (dont le module tend vers l'infini) et telle que (par construction) $(u_{\psi(n)-1})$ converge vers $\lambda$. Mais la continuité de $f$ en $\lambda$ voudrait (ça résulte du choix de la partition : la négation de $(u_n)$ tend vers $\lambda$ fournit un $\varepsilon > 0$ tel que ... puis la continuité de $f$ en $\lambda$ un $\delta > 0$ tel que ...) que $||u_{\psi(n)-1} - \lambda|| > \delta$ car $\lambda$ est point fixe de $f$, ce qui est absurde.

[gothmog]

pour l'ex 1 il y a une solution qui utilise le taf !

[martini_bird]

Ok, puisque

J'ai montré que
$\exists M>0\;, \forall\varepsilon>0\;, \exists n\in\mathbb{N}\;, \|u_n-\lambda\|<\varepsilon$ et $\|(f(u_n)-\lambda\|>M$

on peut extraire de $u_n$ une sous-suite $(u_{\varphi(n)})$ qui converge vers $\lambda$ et telle que $(f(u_{\varphi(n)}))$ diverge vers l'infini en module. Ceci contredit la continuité de $f$ en $\lambda$.

Du reste, on a besoin dans les hypothèses de la continuité de $f$ uniquement en $\lambda$.

Merci.

PS: je vais chercher pour la 1. ;-)