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J'ai juste une petite question d'un DM peu commode.
on a $f$ continue sur $\R$, $\forall x$ on definit les suites $(U_n(x))$ et $(V_n(x))$ de telle sorte :
$U_0(x)$, $\forall n \in \N$, $U_{n+1}(x)=f(U_n(x))$
$$\forall n \in \N,\ \ V_{n+1}(x)=\ds\sum_{k=0}^{n} \dfrac{1}{k} \dfrac{U_k(x)}{n+1}$$
On suppose qu'il existe un réel $a$ tel que la suite $(V_n(a))$ soit bornée et que la fonction $f$ ne possède pas de point fixe.
Montrer que pour tout réel $b$, la suite $(U_n(b))$ est monotone et divergente. Divergente c'est ok, mais monotone je ne vois pas du tout. J'imagine surtout bon nombre de contre exemples... Il s'agit peut etre d'utiliser le fait que $(U_n(a))$ soit bornée mais je n'aboutit pas.
Dernière modification par AntoineL le dimanche 22 octobre 2006, 15:02, modifié 1 fois.
Tu as oublié les balises latex (il faut encadrer les formules avec un dollar de chaque côté) : édite ton message pour le corriger.
De plus, je n'ai pas bien compris la définition de la suite $(v_n(x))$ : que signifie \ds ?
MB. (rejoignez pCloud et bénéficiez de 10Go de stockage en ligne gratuits) Pas d'aide en message privé. Merci de consulter ce sujet avant de poster votre premier message.
Excusez moi pour les erreurs de syntaxes. C'est la premiere fois que j'utilise un forum sur internet. J'ai corrigé en conséquence et j'espere que l'énoncé est comprehensible.
AntoineL a écrit :Excusez moi pour les erreurs de syntaxes. C'est la premiere fois que j'utilise un forum sur internet. J'ai corrigé en conséquence et j'espere que l'énoncé est comprehensible.
Pas de dollars dans tous les sens (un couple de dollars par proposition), tout n'est pas encore clair.
AntoineL a écrit :Montrer que pour tout réel $b$, la suite $(U_n(b))$ est monotone et divergente. Divergente c'est ok, mais monotone je ne vois pas du tout. J'imagine surtout bon nombre de contre exemples... Il s'agit peut etre d'utiliser le fait que $(U_n(a))$ soit bornée mais je n'aboutit pas.
C'est un peu subtile, j'ai même failli te dire qu'il manquait sûrement une hypothèse mais tu devrais trouver en considérant la fonction suivante $g(x) = f(x) - x$. En l'appliquant à $U_n(x)$ tu devrais trouver une contradiction.