Bourbaki : une bonne référence ?

[Rivten]

Bonjour à toutes et à tous,

C'est mon premier post ici, j'espère qu'il soulèvera un peu d'intérêt

Voilà, je souhaiterais m'acheter de bons livres de Maths qui donnent un aperçu sérieux des mathématiques.
Bien évidemment, une des première référence que l'on trouve est la série des Bourbaki. Cependant, en essayant d'effectuer plusieurs recherches, j'en entends beaucoup de bien mais aussi beaucoup de mal.
Il est vrai qu'après les avoir rapidement feuilleté, leur contenu et leur présentation semble un minimum austère mais, tout de même sérieux.

Je voulais donc savoir ce qu'en pensait quelques personnes ici, voire si elles n'avaient pas mieux à me conseiller. Bien qu'étant encore dans le système prépa (rentré 5/2 dans une semaine !), je ne cherche pas un "livre de maths pour prépa" mais réellement quelque chose de sérieux, peut-être exhaustif plus qu'un outil pour travailler les concours.

Bref, je sens que j'ai du mal à m'exprimer correctement. J'essayerai de rediriger la discussion si elle s'éloigne trop de ce que j'avais premièrement en tête comme type d'ouvrage.

Merci par avance pour vos réponses,
Bonne soirée,

Rivten.

[Francky]

La série des Bourbaki me semble trop orienté vers un formalisme spécifique.

En revanche, "ils*" ont écrit aussi ceci : http://fr.wikipedia.org/wiki/Abr%C3%A9g%C3%A9_d%27histoire_des_math%C3%A9matiques

Je ne l'ai pas lu, mais entendu beaucoup de bien, ceci me semble un complément idéal au cours de 5/2, et plus dans l'optique de ta demande.

J'ai hâte de voir d'autres avis aussi.

[Arnaud]

Pour avoir un "aperçu sérieux", je me ne tournerais ni vers les Bourbaki, ni vers une collection complète, mais plutôt vers des bouquins écrits par des spécialistes dans leurs disciplines.

Un spécialiste de géométrie affine te fera mieux comprendre toute l'essence de la matière, ce qui se cache derrière, les pièges, qu'un auteur qui traitent analyse, algèbre, géométrie etc... d'un coup.

Les Bourbaki fournissent la construction la plus rigoureuse possible de l'espace mathématique, et cela ne me parait pas compatible avec la notion d'"aperçu".

[rebouxo]

Les Bourbaki fournissent la construction la plus rigoureuse possible de l'espace mathématique, et cela ne me parait pas compatible avec la notion d'"aperçu".

Entièrement d'accord avec cette phrase. Bourbaki est certainement très bien lorsque l'on veut s'assurer qu'il n'y a pas d'erreur de démonstration dans les fondements des mathématiques. Mais le but de Bourbaki n'est pas d'expliquer à des débutants les mathématiques. Ils s'adressent à des matheux professionnels et le but est de refonder les maths à partir de zéro. C'est très abstrait et c'est voulu.

Olivier

[Tonn83]

Bourbaki a proposé une synthèse de connaissances et non une introduction aux mathématiques. Comme toute synthèse, elle s'appuie sur des choix en soi discutables. Parmi les critiques récurrentes, d'une part le style d'écriture peu digeste et l'absence voulue de toute référence, d'autre part des pans des mathématiques volontairement ignorés ou involontairement mal traités (la logique, l'intégration, les probabilités, les statistiques, etc).
Je rejoins les deux avis ci-dessus : les livres de Bourbaki sont peu conseillés à des étudiants de premier cycle (quels que soient leurs motivations et leurs compétences). cependant, les tomes sur la Topologie générale et sur les groupes et algèbres de Lie sont remarquables et peuvent être lus indépendamment du reste du traité. Ils peuvent également servir de lectures complémentaires pour des cours niveaux L3 et M1 voire M2.
Ceci dit, il n'existe rarement pour un sujet donné de référence unique sur laquelle tous s'accorderaient... sauf exceptions.

Dis nous quels sujets tu voudrais approfondir.

[Rivten]

Merci pour ces différents avis

Dis nous quels sujets tu voudrais approfondir.

Je suis sûr qu'il y a pleins de choses intéressantes à apprendre en algèbre générale (groupe abéliens, etc...) voire en topo.

Du coup je fouillerai sans doute du côté des ouvrages bien spécialisés (à Gibert Joseph on ne peut trouver que son bonheur !)

[francois]

Bonjour,

Pareil que les autres en ce qui concerne Bourbaki. Ce n'est pas une bonne idée il me semble. Après, c'est vrai que la notion « d'aperçu sérieux » est un peu contradictoire parce que "aperçu" ça sous-entend qu'on survole et "sérieux" ça sous-entend que ça aborde quand même pas mal de notions (en tout cas c'est comme ça que je comprends les choses). Or, chaque sous-discipline en mathématique, si on veut l'aborder sérieusement et en profondeur, est un puits sans fond.

Maintenant, histoire de proposer quand même quelque chose qui irait un peu dans le sens de "aperçu sérieux", je dirais le « Maths en tête » de Xavier Gourdon (le tome d'algèbre et celui d'analyse), non ? Mine de rien, ça couvre pas mal de choses il me semble et de manière assez rigoureuse. Dans le genre « généraliste », je trouve que c'est une bonne référence (les parties cours sont assez condensées et tout n'est pas forcément démontré).

[Tonn83]

Je suis sûr qu'il y a pleins de choses intéressantes à apprendre en algèbre générale (groupe abéliens, etc...) voire en topo.

Il y a plein de choses intéressantes en mathématiques, quel que soit le sujet, c'est une certitude
En topologie générale, tu peux lire le livre de Queffelec ici, bien fourni, largement abordable pour un étudiant de classes préparatoires, qui aborde notamment les notions de dimension fractale. Ou pour aller vraiment plus loin le livre General topology de Kelley là. Les livres de Bourbaki sur la topologie que j'avais déjà indiqués dans mon précédent post sont également très intéressants. L'avantage avec Kelley par rapport à Bourbaki est qu'il contient une bibliographie qui complète sa lecture...
L'algèbre générale est trop vaste pour pouvoir t'orienter vers des livres sur les sujets qui t'intéressent vraiment... Une référence incontournable est le livre Algebra de Lang ici. Sur les groupes abéliens, on peut par exemple étudier les sous-groupes discrets de $\R^n$ et on déborde plus sur de la géométrie.

Voilà cela te fait déjà beaucoup de choses intéressantes à lire, non ? Je te conseille néanmoins d'aller d'abord feuilleter des livres dans des bibliothèques universitaires avant de les acheter. Car le problème des livres de maths est qu'ils sont tirés en un nombre limité et donc coûtent cher. (Peu de stock et demande faible ==> prix élevé.)

[Framboise]

Bonjour,

Les ouvrages de Bourbaki sont austères et difficiles à aborder sans avoir un solide bagage préalable en maths.
Pour s'initier, j'ai aimé les livres de Serge Lang et en stats de Ross.

Note: je suis maths appliqués et peu maths théoriques.

[supermath]

Bon, concernant Bourbaki, soyons un peu sérieux. Bourbaki est LA SEULE somme mathématique qui démontre tout, de A à (presque) Z... Et pourtant, ça a été écrit au milieu du 20ème siècle. Ceci dit, le niveau de raisonnement et d'abstraction était tel à l'époque que cette somme, écrite pour d'excellents étudiants à Bac + 5, type ENS, est devenue inabordable par des SEK qui parviennent actuellement en fac en tant que MCF. Le niveau a chuté, ce n'est pas des on dit, c'est la réalité. Ceci dit, si vous vous destinez à la carrière de chercheur, c'est une mine d'or UNE FOIS QUE VOUS AVEZ DEJA DIGERE UN COURS SUR LES DITES NOTIONS afin de les approfondir.
J'utilise encore Integration chapitre IX et "groupes et algèbres de Lie" (la série) pour mémoire lorsque j'ai besoin d'un résultat optimal, dans mes recherches.
Pour la topologie, les volumes "topologie générale" sont très complets et donnent une expertise sur ce sujet qu'il n'est plus possible d'acquérir auprès d'un seul enseignant du supérieur.
Avant la thèse, il y a "fonctions réelles d'une variable réelle" et "modules sur les anneaux principaux" (en remplaçant l'anneau de base par Z) qui sont très utiles pour l'agrégation.
Par contre, quelque soit le volume, je vous recommande les exercices qui sont très difficiles mais qui vous formeront à un véritable raisonnement.
<ces exercices sont une véritable mine d'or. Ils sont complémentaires à l'exposé et permettent de digérer les notions enseignées si vous êtes assez courageux pour les aborder.
C'est vraiment les bouquins où il faut travailler lorsque, élève à l'ENS, vous avez choisi le ou les domaines qui formeront vos centres d'intérêt en tant que chercheur.

Avant tout cela,
Si vous voulez du sérieux en algèbre, voyez Serge Lang "algebra" (il est malheureusement en anglais)
Pour les équations différentielles, "calcul infinitésimal" de Dieudonné
En topologie, vous pouvez vous attaquer le Choquet, très bien écrit, mais malheureusement incomplet à l'heure actuelle. Il vous donnera une bonne entrée en matière
Pour le calcul différentiel, Henri Cartan, "calcul différentiel"
et pour l'analyse en général, Dieudonné, analyse tomes I et 2 : très austères, mais vous retrouverez l'esprit des exercices de Bourbaki; ce cours a été écrit pour des physiciens!!! Je vous laisse imaginer le niveau des physiciens à qui c'était adressé.

[J-C]

Bonjour. J'arrive ici un peu par hasard, mais j'ai une plutot bonne opinion de Bourbaki : certes, pour une initiation il est trop "général".; Je veux dire par là que les théorèmes et propositions sont énoncés avec le maximum de généralité possible ; ce n'est pas toujours l'usage qu'on veut faire du résultat. Mais

1) C'est un très bon dictionnaire des mathématiques, un peu dépassé : pas de catégories, encore moins de topos, très peu d'algèbre non commutative (c'était l'époque qui voulait ça) mais toujours valable pour les sujets "classiques".

2) Folklo de recommander de lire plutôt des spécialistes tels que Lang, Cartan, Dieudonnné et bien d'autres : ils ont fait partie du groupe Bourbaki !

Je suis plutôt algébriste, mais les volumes sur l'intégration (plutôt maladroits, mais Bourbaki ignorait superbement les probas) contiennent des pages très accessibles sur les fonctions convexes. Mais par exemple, rien sur l'intégrale de jauge.
Ceci dit, les acquis des lycéens actuels ne sont plus ce qu'ils étaient de mon temps (1964) et en effet, sauf pour l'algèbre commutative (Chevalley ?) et la topologie générale (Cartan ?) qui sont très bons, il vaut mieux regarder ailleurs.