partitions, facteurs invariants et groupe quotient

[paspythagore]

Bonjour,

j'ai besoin d'éclaircissements sur les trois questions suivantes :

Quel est l’ordre maximal d’un élément de $S_{10}$ ?

Parmi toutes les partitions de $10$, celle dont le PPCM est le plus grand est
$30 = 2 \times 3 \times 5$.

Je ne sais pas ce que sont les partitions mais dans un groupe à $10!$ éléments, je m'attendais à un ordre plus important. Comment s'explique ce résultat.

Donner les facteurs invariants du groupe $\Z/6\Z \times \Z/20\Z$

$\Z/6\Z \times\Z/20\Z\simeq\Z/2\Z \times\Z/3\Z \times\Z/4\Z \times\Z/5\Z\simeq\Z/2\Z \times\Z/60\Z$
Les facteurs invariants sont donc $2$ et $60$ .

Une autre méthode me donnait ça.
les diviseurs élémentaires de $\Z/6\Z \times\Z/20\Z$ sont $2,2^2,3,5$. Après les avoir ordonnés,
nous obtenons : $\begin{pmatrix} 2 & 3^0 & 5^0 \\ 2^2& 3 & 5 \end{pmatrix} $
Les facteurs invariants sont donc : $2 \times 3^0 \times5^0=2$ et $2^2\times 3 \times5 =60$

Je ne sais pas quel est la meilleure rédaction lors d'un examen ?
Ma question, principale sur ce problème, c'est que veux dire facteurs invariants ici. On cherche des groupes isomorphes à $\Z/6\Z \times \Z/20\Z$ ?
A part $\Z/2\Z\times\Z/6\Z \times \Z/2\Z\times\Z/20\Z$, je n'en vois pas.
Je sais trouver les groupes isomorphes à un groupe abélien de cardinal $N$ mais là, je ne sais pas faire.

Soit $G = A_4$ le groupe alterné et $H =<(1,2,3)>$.
a) Quel est le cardinal de $G/H$ ?
Le cardinal de $A_4$ est $12$ et celui de $H$ est $3$. Par conséquent, le cardinal de
$G/H$ et égal à $\dfrac{12}{3}=4$.
b) Donner un représentant de chaque élément de $G/H$.

Les éléments de $G/H$ sont
$H = \{id,(1 ,2, 3),(1, 3, 2)\}$
$(1, 2, 4)H = \{(1, 2, 4),(1, 4)(2, 3),(1 ,3, 4)\}$
$(2, 3, 4)H = \{(2, 3, 4),(1, 3)(2, 4),(1, 4, 2)\}$
$(1, 2)(3, 4)H = \{(1, 2)(3, 4),(2, 4, 3),(1, 4, 3)\}$

Je ne comprends pas, non plus, on dit que le cardinal est $4$, je pensais $4$ éléments mais c'est $4$ sous groupes.
Quel le résultat du cours que j'ai raté pour trouvé le résultat proposé.

Merci de votre aide.

[balf]

Une partition d'un entier est une écriture de cet entier comme somme d'entiers non-nuls. Le nombre de partitions d'un entier n est ce qu'on appelle le nombre de Stirling de 2e espèce de n. Pour n = 10, il vaut 42. Le lien avec les permutations est qu'à chaque décomposition d'une permutation de S$_n$ en produit de cycles disjoints correspond une partition de l'entier n (à condition de considérer que les points fixes de la permutation sont représentés par des 1-cycles). Cette correspondance n'est bien sûr pas injective, mais les types de décomposition est en bijection avec les partitions de n. De plus, l'ordre d'une permutation est le ppcm des ordres des cycles en produit desquels cette permutation est décomposée, c.-à-d. le ppcm des longueurs des cycles.

Pour les groupes isomorphes à Z/6Z×Z/20Z, on applique les théorème chinois de toutes les façons possbles. Celui cité ne lui est certainement pas isomorphe, puis qu'il n'a pas les mêmes diviseurs élémentaires.

Le cardinal de G/H : il y a 4 classes d'équivalence (un groupe-quotient a pour éléments des classes modulo un sous-groupe).

B.A.

[paspythagore]

Une partition d'un entier est une écriture de cet entier comme somme d'entiers non-nuls. Le nombre de partitions d'un entier n est ce qu'on appelle le nombre de Stirling de 2e espèce de n. Pour n = 10, il vaut 42. Le lien avec les permutations est qu'à chaque décomposition d'une permutation de S$_n$ en produit de cycles disjoints correspond une partition de l'entier n (à condition de considérer que les points fixes de la permutation sont représentés par des 1-cycles). Cette correspondance n'est bien sûr pas injective, mais les types de décomposition est en bijection avec les partitions de n. De plus, l'ordre d'une permutation est le ppcm des ordres des cycles en produit desquels cette permutation est décomposée, c.-à-d. le ppcm des longueurs des cycles.

Aîe, aïe, aïe, je suis perdu.

Pour les groupes isomorphes à Z/6Z×Z/20Z, on applique les théorème chinois de toutes les façons possbles. Celui cité ne lui est certainement pas isomorphe, puis qu'il n'a pas les mêmes diviseurs élémentaires.

Il va falloir que je révise, en fait, je ne sais trouver que des groupes isomorphes à un groupe fini abélien.

Le cardinal de G/H : il y a 4 classes d'équivalence (un groupe-quotient a pour éléments des classes modulo un sous-groupe).

Merci.

B.A.

[balf]

Bonjour,
Je reprends les partitions : une permutation σ peut se décomposer comme :
— un seul 10-cycle 0 ; elle est alors d'ordre 10 ;
— un 9-cycle et un 1-cycle (qu'on n'écrit pas : c'est un point fixe) ; elle est d'ordre 9 ;
— un 8-cycle r 8 et un 2-cycle ; elle est d'ordre 8 ;
— un 8-cycle et deux 1-cycles (qu'on n'écrit pas) : ordre 8 ;
— un 7-cycle et un 3-cycle : elle est d'ordre ppcm(7,3) = 21 ;
— un 7-cycle, un 2-cycle et un 1-cycle : ordre 7×2 = 14 ;
— un 7-cycle et trois 1-cycles : ordre 7 ;
— un 6-cycle et un -4-cycle : ordre ppcm(6,4) = 12 ;
— &c.
Je pense (j'espère…) que le lien avec les partitions de 10 est plus clair sur cet exemple. Il y a 42 possibilités (le nombre de partitions de nest une fonction récursive d'entiers qui doit figurer dans tous les logiciels de calcul formel). De toute façon, pour la question posée, on peut s'arrêter après qu'on a examiné les cas où le plus grand entier figurant dans la partition est égal à 5 ; ensuite l'ordre est forcément 12 au maximum.

B.A.