GeoGebra

[rebouxo]

Mercredi j'ai une intéressante discussion sur GeoGebra dans laquelle le fond du problème était l'assimilation des points aux complexes. Cette assimilation pose déjà des problèmes, mais ce n'est pas le fond du problème. L'un des membres a alors proposé de regardé ce qui se passe en additionnant deux points $A+B$ ou en faisant $3A$, là pas de problèmes ont obtient des points.

Maintenant, $A^2$, ha, là on part d'un point et on arrive à un complexe. Ça c'est déjà plus problématique, complexe qui est positionné dans le plan. Maintenant $\log(A)$, on obtient encore un complexe, mais là où ça va pas du tout c'est que $log(-1+0\times i)$ donne un complexe ! Warum ? why ? Bug (pour le dernier cela me paraît clair) ?

Enfin, bref ça nous a donné du grain à moudre.

Olivier

[kojak]

Bonjour Olivier,

mais là où ça va pas du tout c'est que $log(-1+0\times i)$ donne un complexe ! Warum ? why ? Bug (pour le dernier cela me paraît clair) ?

Ben c'est juste ceci : $\ln(-1)=i \pi$ : ceci provient de la détermination principale du logarithme complexe :

si $z=\rho e^{i\theta}$ avec $\theta$ argument principal de $z$ alors $\ln z = \ln \rho + i\theta $.

Ensuite, on assimile aisément un point avec son affixe dans GeoGebra, ce que fait aussi Xcas quand on écrit

Code : Tout sélectionner

equation(droite(1+i,-1-i))

pour avoir une équation cartésienne de la droite passant par les deux points d’affixes $1+i$ et $-1-i$

Donc pas de problème dans GeoGebra qui fait bien tout comme il fô

PS : tu remarqueras que si tu écris dans la barre de saisie $\ln(-1)$, GeoGebra te dit que ce nombre n'est pas défini.

[rebouxo]

Bonjour Olivier,

Salut Xavier,

Ben c'est juste ceci : $\ln(-1)=i \pi$ : ceci provient de la détermination principale du logarithme complexe :

[SNIP]

PS : tu remarqueras que si tu écris dans la barre de saisie $\ln(-1)$, GeoGebra te dit que ce nombre n'est pas défini.

Comment dire : je ne suis pas convaincu du bien fondé de ce choix. Sans pouvoir argumenter sur le problème de manière plus poussé.

Bon faudrait que je me replonge dans cette histoire de log complexe. J'avais dans mes souvenirs que le log complexe n'était pas défini sur $\R_-^*$, mais apparemment ce n'est que l'une des définitions possibles.

Bon, cela dit le fait que suivant les moments, GeoGebra affiche un point ou un complexe me semble être un petit problème (indépendamment de ce problème de log complexe). Tout au moins cela mériterait un message d'erreur ou d'explication. Enfin, disons que cela me perturbe.

Olivier

[kojak]

Bonjour Olivier,

J''avais dans mes souvenirs que le log complexe n'était pas défini sur $\R_-^*$,

Non pas du tout, c'est juste en $0$ que ça pose problème.

mais apparemment ce n'est que l'une des définitions possibles

le pb provient de, quand tu écris $z=\rho e^{i\theta}$ c'est que ton $\theta$ est défini à $2k\pi$ près, donc pour le $\ln$ on pourrait écrire $\ln z = \ln\rho + i(\theta + 2k\pi)$. La détermination principale du log complexe est quand $\theta\in]-\pi,\pi]$ et, dans ce cas, $\ln z = \ln \rho + i\theta$.

Bon, cela dit le fait que suivant les moments, GeoGebra affiche un point ou un complexe me semble être un petit problème (indépendamment de ce problème de log complexe).

GeoGebra confond un point et son affixe. C'est leur choix. Après, comment font les anglo Saxons ? ou d'autres pays ? A priori, en France, on est pointilleux là dessus. Est-ce bien ou mal ? j'en sais rien.
Sinon, moi, ça ne me perturbe pas tant que ça.

@+

[rebouxo]

Merci pour ses précisions.

Disons, que moi cela ne me gêne pas outre mesure. Par contre, c'est clair (enfin moi, je pense que cela gènes) que cela gène bon nombre de prof de maths français. Et là je pense qu'il y a des conceptions des maths qui rentrent en ligne de compte. Et l'utilisation de logiciels (ou d'instruments plus généralement) fait ressortir une certaine conception des maths. Or, en France, je crois que l'on refuse de prendre en compte cette dimension. Par contre, je crois que les programmes, eux, ont adopté un certain point de vue. Mais, ces choix philosophiques ne sont discutés...

D'autres part, cela ne gène peut-être pas le prof de maths, mais la question (dans notre discussion qu'on n'a eu mercredi) était plutôt posée du point de vue de l'élève. Bien que je ne sois pas sur que l'élève posât la question.

Cela dit, ce serait bien de pouvoir interdire un tel comportement (pas la possibilité d'additionner deux points).

Olivier

[François D.]

Il me semble que GeoGebra est un projet qui avait à ses débuts une forte connotation autrichienne et/ou allemande : je crois me souvenir avoir téléchargé mes premières versions depuis un site lié à l'université de Salzbourg ou Innsbrück.

Or, il semblerait effectivement qu'en Allemagne on ne soit pas toujours aussi pointilleux qu'en France sur la différence point/coordonnées, fonction/courbe, etc. : j'ai en tête un sujet de contrôle où on demandait de démontrer qu'une fonction admettait un « point maximal » (Maximalpunkt), ce qui en France serait au mieux considéré comme dangereusement ambigu.
Cela étant, Arnaud est mieux placé que moi sur ce genre de questions .

[kojak]

@François : Markus, le premier développeur, est autrichien et maintenant se trouve à l'université de Linz.

Quant à la question de l'élève, je pense qu'on est tout à fait capable de lui expliquer que $\ln(-1)$ existe et qu'il verra ceci éventuellement quand il sera plus grand. Il y a des abus et/ou conventions d'écriture dans GeoGebra, comme dans beaucoup de logiciels : cela provient des choix faits par les développeurs. Par exemple, en secondaire, on s'interdit d'écrire $\vec u = (1,3)$, non ? En supérieur, ça ne pose aucun problème d'identifier un vecteur avec ses coordonnées.

[François D.]

Lors de mon premier TP GeoGebra avec ma classe de Seconde, je fais toujours le commentaire consistant à expliquer que la notation $\texttt{D=(x,y)}$ est et reste mathématiquement fausse (à leur niveau, évidemment, mais ça je ne le leur dis pas) et qu'il faut la tolérer comme étant une contrainte technique du logiciel.
Apparemment ça passe à peu près : ils ne râlent pas lorsque par après je retire çà et là des points à ceux qui s'obstinent dans un contrôle à placer un $=$ entre le nom d'un point et ses coordonnées.

[Arnaud]

Bonjour Olivier,

J''avais dans mes souvenirs que le log complexe n'était pas défini sur $\R_-^*$,

Non pas du tout, c'est juste en $0$ que ça pose problème.

Hum, il me semble aussi que le logarithme complexe n'est défini que sur le plan auquel on ôte une demi-droite.
Si il s'agit des réels négatifs, on parle de détermination principale, mais cette demi-droite peut être choisie arbitrairement.

[François D.]

Les souvenirs d'Arnaud concordent avec les miens ...

[kojak]

Hum, il me semble aussi que le logarithme complexe n'est défini que sur le plan auquel on ôte une demi-droite.

Oui. Il faut enlever une droite passant par l'origine. C'est un des pbs de ceci :

le pb provient de, quand tu écris $z=\rho e^{i\theta}$ c'est que ton $\theta$ est défini à $2k\pi$ près, donc pour le $\ln$ on pourrait écrire $\ln z = \ln\rho + i(\theta + 2k\pi)$.

, en particulier le souci de continuité quand on arrive sur cette droite, par un côté ou de l'autre, au niveau de la partie imaginaire qui diffère de $2\pi$, si je ne dis pas trop d’ânerie.

[Arnaud]

Oui, exact pour le $2\pi$, il y a un "saut" qui se produit.

D'où : $(-1)^3=(-1)^{\frac{6}{2}}=\sqrt{(-1)^6}=\dots=1$

[Francky]

Attention avec le il "faut" (pour enlever une demi-droite)

En fait, on peut "enlever" n'importe quelle courbe continue qui part de zéro et qui va à l'infini sans se croiser, cela donne une représentation non conventionnelle, mais c'est possible.

Et même là, "enlever" est impropre, car on peut décider de laisser les points dans l'ensemble de définition, et les définir comme la limite quand x tend en venant d'un "coté" de la courbe, ou d'un autre.
Ce qui est sûr, c'est que cette détermination exotique (tout comme la principale) est donc bien définie sur $\mathbb{C}\0$, mais seulement holomorphe sur $\mathbb{C}\backslash$coupure. Là est la différence.
Comme on aime travailler avec les fonctions holomorphes, souvent, on dit $\mathbb{C}\backslash(\mathbb{R}^-)$. (même si on peut prolonger par "continuité_d'un_côté").

J'espère que ça aide à faire avancer le débat.

[Tonn83]

Je ne peux pas vous aider pour ce qui concerne l'interprétation des nombres complexes sous GeoGebra. Néanmoins, je réagis sur la question du logarithme complexe.

• On peut définir le logarithme complexe comme une fonction multivaluée définie sur $\setminus\{0\}$, qui envoie $w$ sur l'ensemble des solutions de $\exp(z)=w$. Dans ce cas, si $w=re^{i\theta}$ en notations trigonométriques, alors $\log(z)=\{\ln(r)+\theta+2k\pi|k\in\Z\}$
• Pour tout $u\in\C\setminus\{0\}$ on peut définir également une application continue $\log:\C\setminus\R u\to \C$ telle que $\exp\log(w)=w$. Cette application est alors holomorphe et on l'appelle une détermination du logarithme complexe. Elle n'est pas unique même à $u$ fixé. (On peut également travailler sur $\C$ privé d'une spirale)
• En particulier, pour $u=-1$, le logarithme népérien se prolonge continument une unique détermination du logarithme complexe appelées la détermination principale du logarithme complexe.
• Enfin, certaines personnes seront tentées de définir le logarithme complexe sur le revêtement universel de $\C\setminus\{0\}$ mais je trouve ça stupide car le revêtement universel est justement donné par l'exponentielle complexe $\exp:\C\to\C\setminus\{ 0\}$.

J'ajoute que la détermination principale du logarithme est donnée par :
$\log(w)=\int_1^w\frac{dw'}{w'}$ en utilisant les intégrales de chemins.

[kojak]

Bonjour,

alors $\log(z)=\{\ln(r)+\theta+2k\pi|k\in\Z\}$

Ne manquerait-il pas un $i$ : $\log z = \ln r + i(\theta+2k\pi)$ ?