[L3] Fonction définie par une intégrale

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Clem25
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[L3] Fonction définie par une intégrale

Message par Clem25 »

Bonjour !
J'ai besoin d'un peu d'aide pour un exercice : il faut montrer que $y\longmapsto\displaystyle\int_0^\infty \dfrac{e^{-x^2y}}{1+x^2}dx$ est bien définie pour tout $y\in[0,+\infty[$.
Je pense qu'il faut donc montrer que l'intégrale impropre est convergente, pour cela, j'écrit $\displaystyle\int_0^\infty \dfrac{e^{-x^2y}}{1+x^2}dx=\lim\limits_{K\to+\infty}\displaystyle\int_0^K \dfrac{e^{-x^2y}}{1+x^2}dx$ et je calcule $\displaystyle\int_0^K \dfrac{e^{-x^2y}}{1+x^2}dx$ avec une IPP. Mais ça ne m'avance pas beaucoup. Je trouve que $\displaystyle\int_0^K \dfrac{e^{-x^2y}}{1+x^2}dx=e^{-K^2y}\arctan K+2y\int_0^K (e^{-x^2y}\arctan x)dx$ et si je refais une IPP je vais tourner en rond...
Quelqu'un peut éclairer ma lanterne ?
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lafayette
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Re: [L3] Fonction définie par une intégrale

Message par lafayette »

Bonsoir,
Plutôt qu'une IPP, peut-être une majoration efficace et rapide ?

Clem25
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Re: [L3] Fonction définie par une intégrale

Message par Clem25 »

Est-ce que je peux majorer $\dfrac{e^{-x^2y}}{1+x^2}$ par $e^{-x^2}$ ? Je travaille avec $y$ fixé, et je minore le dénominateur.
On sait que $\displaystyle\int_0^\infty e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}$ donc convergente. Ça marche comme ça ?
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OG
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Re: [L3] Fonction définie par une intégrale

Message par OG »

Clem25 a écrit :Est-ce que je peux majorer $\dfrac{e^{-x^2y}}{1+x^2}$ par $e^{-x^2}$ ? Je travaille avec $y$ fixé, et je minore le dénominateur.
On sait que $\displaystyle\int_0^\infty e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}$ donc convergente. Ça marche comme ça ?
Non la majoration ne fonctionne pas, par exemple pour $y=0$.
Ici il n'y pas de difficulté pour l'existence, comme dit lafayette, une majoration efficace, rapide (et simple).


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Clem25
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Re: [L3] Fonction définie par une intégrale

Message par Clem25 »

Majorer par $\dfrac{1}{x^2}$ ?
Parce que pour tout $y\in[0,+\infty[$ et tout $x\in[0,+\infty[$, on a $e^{-x^2y}\leq e^0(=1)$. Donc là j'ai majoré le numérateur.
Et je peux minorer le dénominateur par $x^2$. Celà est-il correct ?
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Re: [L3] Fonction définie par une intégrale

Message par OG »

Bah $1/x^2$ en l'infini c'est bien mais en 0 ce n'est pas top non ?

O.G.

Clem25
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Re: [L3] Fonction définie par une intégrale

Message par Clem25 »

Effectivement, ce n'est valable que sur $[1,+\infty[$.
$\dfrac{1}{1+x^2}$ semble mieux, surtout que $\displaystyle\int_0^K\frac{1}{1+x^2}dx=\arctan K$ et donc $\displaystyle\int_0^\infty\frac{1}{1+x^2}dx=\frac{\pi}{2}$.
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Re: [L3] Fonction définie par une intégrale

Message par OG »

effectivement, $1/(x^2+1)$ semble mieux.
En fait la valeur de l'intégrale $\int_0^{+\infty} dx/(1+x^2)$ importe peu ici,
ce qui compte c'est majorer la (valeur absolue de) fonction par quelque chose d'intégrable.
Parfois (si l'exo le demande ou si on ne trouve pas plus simple comme ici), on doit
majorer par une fonction sur $[0,1]$ et par une autre sur $[1,+\infty[$.


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Re: [L3] Fonction définie par une intégrale

Message par Clem25 »

Merci beaucoup OG pour tous ces précieux conseils !
Comment montrer que la fonction $F\colon y\longmapsto\displaystyle\int_0^\infty f(x,y)dx$ est continue sur $[0,+\infty[$ ?
J'ai lu sur internet que le fait que $f(x,y)$ soit continue sur $[0,+\infty[$ suffit pour dire que $y\longmapsto\displaystyle\int_0^\infty f(x,y)dx$ est continue sur $[0,+\infty[$. Est-ce suffisant ?
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Re: [L3] Fonction définie par une intégrale

Message par OG »

Que dit ton cours ?
Il y a des théorèmes précis et selon ton cours qui traitent ou non les intervalles non finis.
Pour ces cas là, la seule continuité ne suffit pas, il faut des bornes pour que les intégrales
existent (comme ici) et bien vérifier en détail que les hypothèses du théorème utilisé
sont vérifiées.

O.G.

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Re: [L3] Fonction définie par une intégrale

Message par Clem25 »

Mon cours me parle d'ensembles mesurables :
Si $\exists M$ négligeable tel que $\forall x\in X\setminus M$ et $\forall u\in E$, $|f(x,u)|\leq g\in\mathcal L^1$ et $\forall u\in E$, $\exists N$ négligeable tel que $\forall x\in X\setminus N$, $f(\_,x)$ est continue en $u$, alors $F$ est continue sur $E$.
Je n'arrive pas à comprendre à quoi correspondent ces ensembles négligeables, c'est assez obscur dans mon espir.

J'ai trouvé que comme pour tout $x\in[0,+\infty[$ et tout $y\in[0,+\infty[$, on a $|f(x,y)[\leq\dfrac{1}{1+x^2}$ et $\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{1}{1+x^2}\,\diff x$ converge, alors $F$ est continue sur $[0,+\infty[$.
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Re: [L3] Fonction définie par une intégrale

Message par OG »

Clem25 a écrit :Mon cours me parle d'ensembles mesurables :
C'est normal, c'est un cours de théorie de la mesure (de Lebesgue) :)
Clem25 a écrit :Si $\exists M$ négligeable tel que $\forall x\in X\setminus M$ et $\forall u\in E$, $|f(x,u)|\leq g\in\mathcal L^1$ et $\forall u\in E$, $\exists N$ négligeable tel que $\forall x\in X\setminus N$, $f(\_,x)$ est continue en $u$, alors $F$ est continue sur $E$.
Je n'arrive pas à comprendre à quoi correspondent ces ensembles négligeables, c'est assez obscur dans mon espir.
Avec le temps on y arrive. Comme c'est dans le cadre de l'intégrale de Lebesgue, on a systématiquement dans les hypothèses des "presque partout",
"à un négligeable près", etc.
Clem25 a écrit : J'ai trouvé que comme pour tout $x\in[0,+\infty[$ et tout $y\in[0,+\infty[$, on a $|f(x,y)[\leq\dfrac{1}{1+x^2}$ et $\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{1}{1+x^2}\,\diff x$ converge, alors $F$ est continue sur $[0,+\infty[$.
Sans oublier que pour tout $x$ $y\mapsto f(x,y)$ est continue.

Cet exercice peut se faire dans le cadre de Riemann, ce qui peut aussi rassurer. Mais certains cas (qui considèrent des fonctions continus)
sont très pénibles à faire dans le cadre de Riemann, il faut découper en 15 les intervalles d'intégration.


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Re: [L3] Fonction définie par une intégrale

Message par Clem25 »

Pour calculer $\lim\limits_{y_to+\infty}\displaystyle\int_0^\infty f(x,y)dx$, est-ce que je peux regarder $\lim\limits_{y_to+\infty}f(x,y)$ et substituer dans mon intégrale ?
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Re: [L3] Fonction définie par une intégrale

Message par OG »

Clem25 a écrit :Pour calculer $\lim\limits_{y_to+\infty}\displaystyle\int_0^\infty f(x,y)dx$, est-ce que je peux regarder $\lim\limits_{y_to+\infty}f(x,y)$ et substituer dans mon intégrale ?
Aïe non. Inversion de limite et d'intégrale ne se fait pas "comme cela".
Il suffit de prendre par exemple une bosse d'aire 1 et de la faire glisser vers l'infini pour voir que ça ne marche pas.

O.G.

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Re: [L3] Fonction définie par une intégrale

Message par Clem25 »

Le problème étant que je n'ai pas d'expression "explicite" pour F, donc je n'ai pas vraiment d'idée pour calculer la limite en $+\infty$...
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Re: [L3] Fonction définie par une intégrale

Message par OG »

Pas besoin de calcul explicite. Si tu ajoutes à l'information $f(x,y)$ tend vers 0 quand $y$ tend vers l'infini
une autre information alors c'est vrai. Pour donner une idée, si $g_n$ tend (presque partout) vers 0, quelle condition
(vue dans le cours de cette année) donne $\int g_n dx$ tend vers 0.

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Re: [L3] Fonction définie par une intégrale

Message par Clem25 »

C'est le théorème de convergence dominée ?
Il faut que je trouve une fonction qui majore la valeur absolue de $g_n$ pour tout $n$.
On sait que $|f(x,y)|\leq\dfrac{1}{1+x^2}$. $x\longmapsto\dfrac{1}{1+x^2}$ est bien intégrable et positive sur $[0,+\infty[$.
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Re: [L3] Fonction définie par une intégrale

Message par OG »

Oui ça devrait aller comme cela.

O.G.