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1) Determiner toute les relations binaire sur E qui sont a la fois symetriques et antisymetriques
2) Determiner toutes les relations binaires sur E qui sont à la fois des relations d'ordre et des relations d'equivalence
SEBASTIEN a écrit :1) Determiner toute les relations binaire sur E qui sont a la fois symetriques et antisymetriques
Tu considères une relation binaire $\mc{R}$ sur $E$. Tu considères alors deux éléments $x$ et $y$ de $E$ tels que $x \mc{R} y$. Tu utilises le fait que $\mc{R}$ soit symétrique, puis antisymétrique. Tu vas alors obtenir une équivalence entre la relation binaire $\mc{R}$ et une autre relation binaire bien connue. Il n'y a donc qu'une relation binaire de ce type possible.
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SEBASTIEN a écrit :donc si je comprend bien seules les relations $x \mc{R} x$ peuvent etre a la fois symetriques antisymetriques
Non, de plus ça ne répondrait pas à la question. Il faut expliciter la relation $\mc{R}$.
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SEBASTIEN a écrit :pouvez vous etre plus expilicite svp car je ne comprend pas
Bon. On considère donc deux éléments $x$ et $y$ de $E$ tels que $x \mc{R} y$. Puisque la relation est symétrique, on a également $y \mc{R} x$. Or, dans ce cas, la relation étant également antisymétrique, on a nécessairement $x=y$. De fait :
$$ x \mc{R} y \Leftrightarrow x=y $$
La relation $\mc{R}$ est donc nécessairement l'égalité.
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Une relation d'ordre est antisymétrique et une relation d'équivalence est symétrique.
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ouai c excat merci c vraiment gentil de votre part.
j'aurai une petite derniere question a vous posez .
Soit une relation R=ensemble vide sur un ensemble E
elle est reflexive irreflexive symetrique antisymetrique transivitive?
elle n'est rien de tous ca puisque R= vide et le vide ne contient rien
etes vous d'accord avec moi?
Je ne comprend pas. Merci de faire des efforts d'écriture.
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Soit une relation $R= \emptyset$ sur un ensemble E
est-elle reflexive? irreflexive? symetrique? antisymetrique? transivitive?
c'est la question
desolé si vous ne m'avez pas compris
[Edit Arnaud : pour utiliser LaTeX, il faut encadré la formule avec des dollars, édite pour voir]
la relation est vide (egale a l'ensemble vide)
c tout ce qui est mentionné
on me demande donc si une relation vide est reflexive? symetrique? transitive?
antisymetrique?
j'espere que vous m'avez compris cette fois
SEBASTIEN a écrit :la relation est vide (egale a l'ensemble vide)
c tout ce qui est mentionné
Il faudrait donc déjà comprendre ce que ça veut dire avant de penser à répondre à la question. C'est un exercice de quel niveau ? Tu as un cours ?
En ce qui me concerne, je pense qu'on peut dire qu'une relation binaire $\mc{R}$ est "vide" si il n'existe aucun couple $(x,y) \in E^2$ tel que $x \mc{R} y$.
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Arnaud a écrit :Certains bouquins définissent une relation binaire ou d'équivalence comme un sous-ensemble de $E \times E$, ce doit être le point de vue de son prof.
Ok, donc ça revient à ce que j'ai dit non ?
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Par contre, pour les définitions du genre $P \Rightarrow Q$ dans lesquelles $P$ n'est jamais vérifiée (puisque la relation binaire est vide), alors on peut dire que l'implication est vraie puisque $non(Q) \text{ et } P$ ne peut pas être vérifié.