Relations binaires sur les ensembles

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SEBASTIEN

Relations binaires sur les ensembles

Message non lu par SEBASTIEN »

bonjour, jaurais un problème à vous soumettre.

Soit E un ensemble.

1) Determiner toute les relations binaire sur E qui sont a la fois symetriques et antisymetriques
2) Determiner toutes les relations binaires sur E qui sont à la fois des relations d'ordre et des relations d'equivalence

Pourriez vous m'aider svp.
Je vous remercie.
MB
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Message non lu par MB »

SEBASTIEN a écrit :1) Determiner toute les relations binaire sur E qui sont a la fois symetriques et antisymetriques
Tu considères une relation binaire $\mc{R}$ sur $E$. Tu considères alors deux éléments $x$ et $y$ de $E$ tels que $x \mc{R} y$. Tu utilises le fait que $\mc{R}$ soit symétrique, puis antisymétrique. Tu vas alors obtenir une équivalence entre la relation binaire $\mc{R}$ et une autre relation binaire bien connue. Il n'y a donc qu'une relation binaire de ce type possible.
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SEBASTIEN

Message non lu par SEBASTIEN »

donc si je comprend bien seules les relations $x \mc{R} x$ peuvent etre a la fois symetriques antisymetriques
MB
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Message non lu par MB »

SEBASTIEN a écrit :donc si je comprend bien seules les relations $x \mc{R} x$ peuvent etre a la fois symetriques antisymetriques
Non, de plus ça ne répondrait pas à la question. Il faut expliciter la relation $\mc{R}$.
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SEBASTIEN

Message non lu par SEBASTIEN »

pouvez vous etre plus expilicite svp car je ne comprend pas
MB
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Message non lu par MB »

SEBASTIEN a écrit :pouvez vous etre plus expilicite svp car je ne comprend pas
Bon. On considère donc deux éléments $x$ et $y$ de $E$ tels que $x \mc{R} y$. Puisque la relation est symétrique, on a également $y \mc{R} x$. Or, dans ce cas, la relation étant également antisymétrique, on a nécessairement $x=y$. De fait :

$$ x \mc{R} y \Leftrightarrow x=y $$

La relation $\mc{R}$ est donc nécessairement l'égalité.
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SEBASTIEN

Message non lu par SEBASTIEN »

ah c vrai effectivement et pour le deuxieme question c'est aussi l'égalité??
MB
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Message non lu par MB »

Une relation d'ordre est antisymétrique et une relation d'équivalence est symétrique.
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SEBASTIEN

Message non lu par SEBASTIEN »

ouai c excat merci c vraiment gentil de votre part.
j'aurai une petite derniere question a vous posez .
Soit une relation R=ensemble vide sur un ensemble E
elle est reflexive irreflexive symetrique antisymetrique transivitive?
elle n'est rien de tous ca puisque R= vide et le vide ne contient rien
etes vous d'accord avec moi?
MB
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Message non lu par MB »

Je ne comprend pas. Merci de faire des efforts d'écriture.
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SEBASTIEN

Message non lu par SEBASTIEN »

Soit une relation $R= \emptyset$ sur un ensemble E
est-elle reflexive? irreflexive? symetrique? antisymetrique? transivitive?
c'est la question
desolé si vous ne m'avez pas compris

[Edit Arnaud : pour utiliser LaTeX, il faut encadré la formule avec des dollars, édite pour voir]
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Message non lu par MB »

SEBASTIEN a écrit :Soit une relation $R= \emptyset$ sur un ensemble E
Je ne comprend pas la définition de la relation. Il faut être plus clair.
SEBASTIEN

Message non lu par SEBASTIEN »

la relation est vide (egale a l'ensemble vide)
c tout ce qui est mentionné
on me demande donc si une relation vide est reflexive? symetrique? transitive?
antisymetrique?
j'espere que vous m'avez compris cette fois
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Message non lu par Arnaud »

La relation $R$ est réflexive si pour tout $x \in E$, $(x,x) \in R$.

Est-ce le cas si $R= \emptyset$ ?
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Message non lu par MB »

SEBASTIEN a écrit :la relation est vide (egale a l'ensemble vide)
c tout ce qui est mentionné
Il faudrait donc déjà comprendre ce que ça veut dire avant de penser à répondre à la question. C'est un exercice de quel niveau ? Tu as un cours ?

En ce qui me concerne, je pense qu'on peut dire qu'une relation binaire $\mc{R}$ est "vide" si il n'existe aucun couple $(x,y) \in E^2$ tel que $x \mc{R} y$.
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Message non lu par Arnaud »

Certains bouquins définissent une relation binaire ou d'équivalence comme un sous-ensemble de $E \times E$, ce doit être le point de vue de son prof.
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Message non lu par MB »

Arnaud a écrit :Certains bouquins définissent une relation binaire ou d'équivalence comme un sous-ensemble de $E \times E$, ce doit être le point de vue de son prof.
Ok, donc ça revient à ce que j'ai dit non ?
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Message non lu par Arnaud »

Oui, oui, bien sûr !

Mais c'est vrai que l'équivalence relation - ensemble n'est pas toujours naturelle.
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Message non lu par MB »

Ok, pour la réflexivité ça va tout seul.

Par contre, pour les définitions du genre $P \Rightarrow Q$ dans lesquelles $P$ n'est jamais vérifiée (puisque la relation binaire est vide), alors on peut dire que l'implication est vraie puisque $non(Q) \text{ et } P$ ne peut pas être vérifié.
SEBASTIEN

Message non lu par SEBASTIEN »

je suis licence 1ere année
sur wikipedia on me di ke les relations vides sont a la fois reflexives et irreflexives
mais je ne comprend pas cette idée
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