matrices et coordonnées barycentriques

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau supérieur au baccalauréat.

Modérateur : gdm_sco

Règles du forum
Merci de soigner la rédaction de vos messages et de consulter ce sujet avant de poster. Pensez également à utiliser la fonction recherche du forum.
paspythagore
Utilisateur chevronné
Utilisateur chevronné
Messages : 2287
Inscription : mercredi 19 novembre 2008, 15:35
Statut actuel : Autre

matrices et coordonnées barycentriques

Message par paspythagore »

Bonjour.

Je doute un peu sur ces deux exercices non corrigés, notamment pour la les démonstration et le concourants à l'infini".
Merci de m'aider.
Soit $k$ un corps et soit $\mathcal{E}$ un espace affine de dimension $3$ sur $k$. On fixe un repère affine de $\mathcal{E}$ et l'on travaille en coordonnées barycentrique dans celui_ci.
Soit $\mathcal{P}$, $\mathcal{P'}$, $\mathcal{P''}$ et $\mathcal{P'''}$ quatre plans de $\mathcal{E}$ définis par les équations $ax+by+cz+dt=0$, $a'x+b'y+c'z+d't=0$, etc.
Interpreter géométriquement (en termes de la configuration des plans étudiés) les rangs des matrices :
1) $$\begin{pmatrix}a&b&c&d\\a'&b'&c'&d'\end{pmatrix}$$
2) $$\begin{pmatrix}a&b&c&d\\a'&b'&c'&d'\\1&1&1&1\end{pmatrix}$$
3) $$\begin{pmatrix}a&b&c&d\\a'&b'&c'&d'\\a"&b"&c"&d"\end{pmatrix}$$
1) Si la matrice est de rang $1$, les plans sont confondus ou parallèles.
Si la matrice est de rang $2$ les plans sont sécants et la matrice définit une droite.
2) Si la matrice est de rang $3$ les plan sont sécants, leurs intersection est une droite.
Si la matrice est de rang $2$ les plans sont parallèles.
3) Si la matrice est de rang $3$ les trois plans sont sécants ou parallèles.
Si la matrice est de rang $2$, deux plans sont parallèles et le troisième sécant.
Si la matrice est de rang $1$, les trois plans sont parallèles, confondus ou sécants.

Tonn83
Utilisateur éprouvé
Utilisateur éprouvé
Messages : 886
Inscription : mercredi 05 novembre 2008, 01:19
Localisation : Paris, France

Re: matrices et coordonnées barycentriques

Message par Tonn83 »

Question 1
Votre réponse est correcte.
Un point de coordonnées barycentriques $(x,y,z,t)$ appartient à l'intersection des plans $P$ et $P'$ si et seulement si la matrice colonne $\begin{pmatrix}x&y&z&t'\end{pmatrix}^T$ appartient au noyau de la matrice $$A=\begin{pmatrix}a&b&c&d\\a'&b'&c'&d'\end{pmatrix}$$ Ainsi, $P\cap P'$ et $\ker A$ ont même dimension. Les plans P et P' sont confondus si et seulement si $A$ est de rang 1.

Question 2 :
La matrice donnée peut-elle être de rang 1 ?

Question 3 :
Revoyez le cas où la matrice est de rang 3 !
Tonn83