Espace vectoriel

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau supérieur au baccalauréat.

Modérateur : gdm_sco

Règles du forum
Merci de soigner la rédaction de vos messages et de consulter ce sujet avant de poster. Pensez également à utiliser la fonction recherche du forum.
fmb
Utilisateur débutant
Utilisateur débutant
Messages : 1
Inscription : samedi 17 août 2013, 13:42

Espace vectoriel

Message par fmb »

Bonjour, j'ai un problème avec mon exercice de maths :
On pose F=((x,y,z,t E R4 | x+2y-3z=t)

Montrer que F est un sous espace vectoriel et en donner une base.
J'ai montré que F est un sous espace vectoriel mais je ne sais pas comment faire pour en trouver une base....

Cordialement.

kojak
Modérateur global
Modérateur global
Messages : 10383
Inscription : samedi 18 novembre 2006, 19:50

Re: espace vectoriel

Message par kojak »

Bonjour,

Tu prends un vecteur $u(x,y,z,t)\in F$ et tu l'exprimes comme combinaison linéaire de plusieurs vecteurs à l'aide de la relation $t=x+2y-3z$ , ce qui te donnera un Vect de F, cad une famille génératrice. Il suffira ensuite de montrer qu'ils forment une famille libre.
Pas d'aide par MP.

cpo
Utilisateur confirmé
Utilisateur confirmé
Messages : 33
Inscription : samedi 06 octobre 2012, 09:22

Re: espace vectoriel

Message par cpo »

Bonjour,

Tu peux aussi commencer par trouver trois vecteurs dans F qui soient linéairement indépendants. Par exemple, en les cherchant de la forme (1,0,0,?), (0,1,0,?) et (0,0,1,?); à toi de trouver leur quatrième coordonnée.

Il n’y a plus alors qu’à montrer que ces trois vecteurs forment une famille génératrice de F : cela se fait en considérant un vecteur de F et en montrant comment il s’exprime comme combinaison linéaire des trois vecteurs trouvés ci-dessus.

Tonn83
Utilisateur éprouvé
Utilisateur éprouvé
Messages : 886
Inscription : mercredi 05 novembre 2008, 01:19
Localisation : Paris, France

Re: espace vectoriel

Message par Tonn83 »

Notez que $F$ est le noyau de la forme linéaire non nulle $(x,y,z,t)\mapsto x+2y-3z-t$. Donc $F$ est un sous-espace vectoriel de dimension $3$ de $\R^4$ : en particulier, toute famille libre de 3 vecteur de $F$ est une base de $F$. La première indication donnée ci-dessus par CPO donne justement une famille libre de trois vecteurs (il faut toutefois justifier qu'elle est libre). Donc immédiatement cette famille est une base de $F$ - il n'est pas nécessaire de démontrer que la famille est génératrice ! :wink:
Tonn83