Boule et espace produit

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paspythagore
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Boule et espace produit

Message par paspythagore »

Bonjour.
Soient $(E_1, d_1)$, $(E_2,d_2)$ et $(E_1\times E_2,\delta_\infty)$ trois espaces métriques. Montrer que si $U_1$ et $U_2$ sont deux ouverts de $E_1$ et $E_2$ alors $U_1\times U_2$ est un ouvert de $E_1\times E_2$.
Pour démontrer cela, il faut démontrer que :
$\forall(x_1,x_2)\in E_1\times E_2,\exists B_0\big((x_1,x_2),r\big)$ pour $\delta_\infty$ tel que $B_o\big((x_1,x_2),r\big)\subset U_1\times U_2$

Ce que je n'arrive pas à me représenter c'est $B_o\big((x_1,x_2),r\big)$. Quel est le centre de cette boule ?
Pour $U_1\times U_2$, je vois bien un pavé. Par exemple 2 segments orthogonaux qui se coupent en leurs milieux.

Merci de m'aider à me représenter cet objet.

OG
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Re: Boule et espace produit

Message par OG »

Bonjour

Pour la représentation, il faut essayer d'abord avec $E_1=E_2=\R$ et rappeler la définition de $d_\infty$ sur l'espace produit.
Là tu devrais avoir une image des boules dans l'espace produit (pour $E_1=E_2=\R$ prendre la norme usuelle).

Quel est le centre de $B_0((x_1,x_2),r)$ ? $(x_1,x_2)$ non ?

O.G.

paspythagore
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Re: Boule et espace produit

Message par paspythagore »

Bonjour OG.
Merci c'est compris.

paspythagore
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Re: Boule et espace produit

Message par paspythagore »

Bonjour.
Toujours pas à l'aise avec ces boules.
Il s'agit de montrer qu'il existe des ouverts de $(E_1\times E_2,\delta_\infty)$ qui ne sont pas des pavés ouverts.
Soit $E_1=E_2=\R$ muni de la distance usuelle $d(x,y)=|x-y|$.
l'ensemble $D=\{(x,y)\in\R^2|x^2+y^2<1\}$ est un ouvert de $(\R^2,\delta_2)$ : c'est la boule ouverte centrée en $(0,0)$ de rayon $1$ pour la distance euclidienne $\delta_2$. C'est donc un ouvert de $(\R^2,\delta_\infty)$. cet ouvert (disque) n'est pas un pavé ouvert (rectangle), i.e. ne peut s'écrire comme produit de deux intervalles ouverts.
Je ne comprends pas l'idée. Ce n'est pas un pavé ouvert parce que $[0,1[^2$ n'est ni ouvert, ni fermé ?
Merci de votre aide.

balf
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Re: Boule et espace produit

Message par balf »

Non. Le pavé en question ne contient d'ailleurs pas la boule -unité ouverte. C'est parce qu'on peut montrer que le pavé ]–1, 1[² est le plus petit pavé ouvert contenant cette boule et qu'il ne lui est pas égal (faites un dessin : il ne s'agit que de mettre en forme ce qu'on observe).

B.A.

paspythagore
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Re: Boule et espace produit

Message par paspythagore »

OK. Merci.
Soient $(X,d)$ et $(Y,\delta)$ deux espaces métriques, et $f:X\to Y$ une fonction.
Montrer que sont équivalentes les propriétés suivantes :
1) l'image réciproque d'un ouvert est un ouvert,
2) l'image réciproque d'un fermé est un fermé,
3) pour tout sous ensemble $A\subset X, f(\bar{A})\subset \overline{f(A)}$.
Supposons 1) et montrons 2). Soit $F$ un fermé de $(Y,\delta)$, montrons que $f^{-1}(F)$ est un fermé de $(X,d)$. En effet, $X-f^{-1}(F)=f^{-1}(Y-F)$ est image réciproque d'un fermé de $Y$ donc ouvert de $X$ donc $f^{-1}(F)$ est fermé.
"En effet, $X-f^{-1}(F)=f^{-1}(Y-F)$" parce que $f^{-1}(Y)=X$ ?
"$X-f^{-1}(F)=f^{-1}(Y-F)$ est image réciproque d'un fermé de $Y$" : pourquoi ?
"donc ouvert de $X$ donc $f^{-1}(F)$ est fermé." : pourquoi ?
Supposons 2) et montrons 3). Soit $A\subset X$. L'ensemble $f^{-1}(\overline{f(A))}$ est un fermé de $X$ qui contient $A$. Il contient donc $\bar{A}$ et donc $f(\bar{A})\subset f(f^{-1}\overline{(f(A))}\subset \overline{f(A)}$
"L'ensemble $f^{-1}(\overline{f(A))}$ est un fermé de $X$ qui contient $A$." : $f^{-1}(f(A))=A$ et $A\subset \overline{f(A))}$ ?

balf
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Re: Boule et espace produit

Message par balf »

paspythagore a écrit : En effet, $X-f^{-1}(F)=f^{-1}(Y-F)$" parce que $f^{-1}(Y)=X$ ?
Oui. On a la formule suivante, facile à vérifier, pour des parties A et B de Y :
f⁻¹(A — B) = f⁻¹(A) — f⁻¹(B).
S"$X-f^{-1}(F)=f^{-1}(Y-F)$ est image réciproque d'un fermé de $Y$" : pourquoi ?
Non : c'est l'image réciproque d'un ouvert, puisque F est fermé.
"donc ouvert de $X$ donc $f^{-1}(F)$ est fermé." : pourquoi ?
Parce qu'une partie de X est fermée si et seulement si son complémentaire est ouvert.
"L'ensemble $f^{-1}(\overline{f(A))}$ est un fermé de $X$ qui contient $A$." : $f^{-1}(f(A))=A$ et $A\subset \overline{f(A))}$ ?
L'inclusion ne risque pas d'être juste : A est une partie de X, et elle serait contenue dans une partie de Y ? L'égalité est fausse en général : on a seulement f⁻¹(f(A)) $\supset$ A. Donc, comme $\mathsf{\overline{\textsf{f(A)}} \supset A}$ …

B.A.

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Re: Boule et espace produit

Message par paspythagore »

Merci pour la première partie qui est comprise.
Je ne comprends pas le "Donc, comme $\mathsf{\overline{\textsf{f(A)}} \supset A}$ …".

balf
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Re: Boule et espace produit

Message par balf »

Désolé, ce n'était pas compréhensible. Je rectifie la coquille : f⁻¹(f(A)) ⊃ A et comme f(A) ⊂$\overline{\mathsf{f(A)}}$…

B.A.

paspythagore
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Re: Boule et espace produit

Message par paspythagore »

Merci c'est plus clair mais il va falloir que je le lise et relise, fasse et refasse, ...

Greg16
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Re: Boule et espace produit

Message par Greg16 »


$\forall(x_1,x_2)\in E_1\times E_2,\exists B_0\big((x_1,x_2),r\big)$ pour $\delta_\infty$ tel que $B_o\big((x_1,x_2),r\big)\subset U_1\times U_2$
Il y aune petite erreur dans ce qui précède. Ce qui suit est plus correct:
$\forall(x_1,x_2)\in U_1\times U_2,\exists B_0\big((x_1,x_2),r\big)$ pour $\delta_\infty$ tel que $B_o\big((x_1,x_2),r\big)\subset U_1\times U_2$
ou plus rigoureusement, pour chaque $X\in U_1\times U_2$,
$$ \exists r>0\quad \forall Y\in E_1\times E_2 \quad \big (\delta_\infty (Y,X)<r \Rightarrow Y\in U_1\times U_2 \big)$$
Du coup, la question n'est pas le centre de la boule, mais la détermination d'un rayon.

paspythagore
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Re: Boule et espace produit

Message par paspythagore »

Bonsoir.
En fait je n'ai pas compris les bases.
$A\subset f^{-1}(f(A))$ parce qu’une image peut avoir plusieurs antécédents mais un élément de l'ensemble de départ a au plus une image ?
Mais alors pourquoi $f(f^{-1}(\overline{f(A)})\subset \overline{f(A)}$ ?

@greg16 : je regarderai à nouveau vos remarques dimanche.

balf
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Re: Boule et espace produit

Message par balf »

Un élément de la source a toujours exactement une image (une application est « une fonction partout définie »).

Pourquoi ? Parce que, d'une façon générale, f(f⁻¹(Y)) Y, comme il appert des définitions de l'image directe et de l'image réciproque.

B.A.

paspythagore
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Re: Boule et espace produit

Message par paspythagore »

Bonjour,
j'ai toutes mes questions sur ce sujets bout à bout, en intégrant les réponses que vous m'avez données.
Soient $(X,d)$ et $(Y,\delta)$ deux espaces métriques, et $f:X\to Y$ une fonction.
Montrer que sont équivalentes les propriétés suivantes :
1) l'image réciproque d'un ouvert est un ouvert,
2) l'image réciproque d'un fermé est un fermé,
3) pour tout sous ensemble $A\subset X, f(\bar{A})\subset \overline{f(A)}$.
4) $f$ est continue.
lemme : $f\Big(f^{-1}(B)\Big)\subset B$ et $A\subsetf^{-1}\Big(f(A)\Big)$
Supposons 1) et montrons 2). Soit $F$ un fermé de $(Y,\delta)$, montrons que $f^{-1}(F)$ est un fermé de $(X,d)$. En effet, $X-f^{-1}(F)=f^{-1}(Y-F)$ est image réciproque d'un ouvert de $Y$ donc ouvert de $X$ donc $f^{-1}(F)$ est fermé.
"En effet, $X-f^{-1}(F)=f^{-1}(Y-F)$" parce que $f^{-1}(A -B) = f^{-1}(A)- f^{-1}(B)$ et $f^{-1}(Y)=X$
"$X-f^{-1}(F)=f^{-1}(Y-F)$ est image réciproque d'un ouvert de $Y$", puisque $F$ est fermé. Cela veut dire $Y$ est l'espace tout entier, donc ouvert et fermé, mais $Y-F$ est ouvert. on considère alors $Y-F$ comme le complémentaire du fermé $F$ ?
"donc ouvert de $X$ donc $f^{-1}(F)$ est fermé." : parce qu'une partie de X est fermée si et seulement si son complémentaire est ouvert.
Supposons 2) et montrons 3). Soit $A\subset X$. L'ensemble $f^{-1}(\overline{f(A))}$ est un fermé de $X$ qui contient $A$. Il contient donc $\bar{A}$ et donc $f(\bar{A})\subset f(f^{-1}\overline{(f(A))}\subset \overline{f(A)}$
"L'ensemble $f^{-1}(\overline{f(A))}$ est un fermé de $X$ qui contient $A$." : $A\subset f^{-1}(f(A))$ d'aprés le lemme et $f(A)\subset \overline{f(A))}$, et comme $f(A) \subset\overline{\mathsf{f(A)}}$…

Pour la première partie c'est $\bar{A}\subset f^{-1}\overline{(f(A))$ donc $f(\bar{A})\subset f(f^{-1}\overline{(f(A))}$ ?
Mais pour la seconde $f(f^{-1}\overline{(f(A))}\subset \overline{f(A)}$, je ne comprends pas.
Supposons 1) et montrons 4).

Supposons $f$ continue en tout point de $X$ et considérons un ouvert $U$ de $(Y,\delta)$ et un point $x$ de $f^{-1}(U)$. L'ensemble $U$ est un ouvert qui contient $f(x)$, il existe par définition un réel strictement positif $\epsilon_0$ tel que $B(f(x),\epsilon_0)\subset U$. La fonction $f$ étant continue en $x$, il existe $\alpha>0$ tel que :

$$f(B(x,\alpha))\subset B(f(x),\epsilon_0).$$

Ainsi donc :

$$B(x,\alpha)\subset f^{-1}\left(f(B(x),\alpha)\right)\subset f^{-1}(B(f(x),\epsilon_0))\subset f^{-1}(U)$$

ce qui montre que $f^{-1}(U)$ est ouvert.

Réciproquement, supposons que l'image réciproque de tout ouvert est un ouvert, et montrons que $f$ est continue. Soit $x_0$ un point de $X$, et $\epsilon>0$. La boule $B(f(x_0),\epsilon)$ est un ouvert de $(Y,\delta)$. Par hypothèse, $f^{-1}(B(f(x_0),\epsilon))$ est un ouvert de $(X,d)$ contenant $x_0$. Donc il existe $\alpha>0$ tel que $B(x_0,\alpha)$ soit inclus dans $f^{-1}(B(f(x_0),\epsilon))$ et on a :

$$f(B(x_0),\alpha))\subset f\left(f^{-1}(B(f(x_0),\epsilon))\right)\subset B(f(x_0),\epsilon).$$

ce qui conclut la démonstration.
"L'ensemble $U$ est un ouvert qui contient $f(x)$" : pourquoi ?
"Ainsi donc : $B(x,\alpha)\subset f^{-1}\left(f(B(x)$" parceque $B(x,\alpha)$ est ouvert ?
"Réciproquement, ..., la boule $B(f(x_0),\epsilon)$ est un ouvert de $(Y,\delta)$" : c'est une hypothèse ?
"$f\left(f^{-1}(B(f(x_0),\epsilon))\right)\subset B(f(x_0),\epsilon)."$ : je ne comprends non plus cette deuxième relation, c'est une conséquence du lemme ?
lemme : Soit $f$ une application d'un ensemble $X$ dans un ensemble $Y$. soit $A$ une partie de $X$ et $B$ une partie de $Y$. On définit :
$$f^{-1}(B)=\{x\in X/f(x)\in B\}\text{ et }f(a)=\{y\in Y/\exists\alpha\in A/f(a)=y\}$$
alors, on a :
$f(f^{-1}(B))=B\cap f(X)$ et $f^{-1}(f(A))=\{x\in X/\exists\alpha\in A/f(x)=f(a)\}.$
En particulier, $f\Big(f^{-1}(B)\Big)\subset B$ et $A\subset f^{-1}\Big(f(A)\Big)$

démonstration : soit $y$ un élément de $B\cap f(X)$. Il existe un $x$ de $X$ tel que $y=f(X)$.
Par définition de l'image réciproque d'un ensemble, $x\in f^{-1}(B)$ et donc $y\in f(f^{-1}(B))$ et donc $B\cap f(X)\subset f(f^{-1}(B))$.
l’inclusion réciproque est évidente.
donc $f(f^{-1}(B))=B\cap f(X)$.

De plus, par définition de l'image réciproque, $x$ appartient à $f^{-1}(f(A))$, ssi il existe un élément $b$ de $f(A)$ tel que $f(x)=b$, c'est à dire qu'il existe un élément $a$ de $A$ tel que $f(x)=f(a)$. D'où le lemme.
"Il existe un $x$ de $X$ tel que $y=f(X)$." : plutôt Il existe un $x$ de $X$ tel que $y=f(x)$ ?
"et donc $B\cap f(X)\subset f(f^{-1}(B))$." : pourquoi, on pourrait dire l'inverse : et donc $ f(f^{-1}(B))\subset B\cap f(X)$.

Tonn83
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Re: Boule et espace produit

Message par Tonn83 »

paspythagore a écrit : on considère alors $Y-F$ comme le complémentaire du fermé $F$ ?
Oui ! Le complémentaire d'une partie fermée est ouverte et le complémentaire d'une partie ouverte est fermée. Ces propriétés découlent directement des définitions.
Mais pour la seconde $f(f^{-1}\overline{(f(A))}\subset \overline{f(A)}$, je ne comprends pas.
Question sur les applications, non directement liée à la topologie !
Soit $h:A\to B$ une application entre deux ensembles $A$ et $B$ et soit $C$ une partie de $B$. Si $x$ appartient à $h^{-1}(C)$ alors $x$ par définition est un antécédent par $h$ d'un élément $y$ de $C$. Autrement dit, $h(x)=y\in C$. Ainsi, $h(h^{-1}(C))\subset C$. Vous pouvez démontrer qu'il a égalité si et seulement si $C$ est inclus dans l'image de $h$...
"L'ensemble $U$ est un ouvert qui contient $f(x)$" : pourquoi ?
Parce que $U$ contient $x$.
"Ainsi donc : $B(x,\alpha)\subset f^{-1}\left(f(B(x,\alpha))$" parceque $B(x,\alpha)$ est ouvert ?
Cette première inclusion resterait vraie si je remplaçais $B(x,\alpha)$ par n'importe quelle partie de $X$ ...
"Réciproquement, ..., la boule $B(f(x_0),\epsilon)$ est un ouvert de $(Y,\delta)$" : c'est une hypothèse ?
L'auteur suppose que etc. :mrgreen:
"$f\left(f^{-1}(B(f(x_0),\epsilon))\right)\subset B(f(x_0),\epsilon)."$ : je ne comprends non plus cette deuxième relation, c'est une conséquence du lemme ?
La réponse se trouve déjà écrite dans ce post ! :wink:
Tonn83

paspythagore
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Re: Boule et espace produit

Message par paspythagore »

OK. Merci.