J'ai quelques questions sur la caractérisation des espaces compacts en termes d'ouverts et de fermés.
Je comprends mal le 1). Si notre compact $X$ est un fermé, comment peut il être recouvert par une famille d'ouverts inclus dans $X$ ?Soit $(X,d)$ un espace métrique, les trois propriétés suivantes sont équivalentes :
1) Pour toute famille $(U_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ d'ouverts de $X$ recouvrant $X$, c'est à dire telle que :
$$X=\ds\bigcup_{\lambda\in\Lambda}U_\lambda;$$
on peut extraire un sous-recouvrement fini, c'est à dire qu'il existe une famille finie $(\lambda_j)_{1\leq j\leq N}$ telle que :
$$X=\ds\bigcup_{j=1}^N U_{\lambda_j}.$$
2) Pour toute famille de fermés $(F_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$, on a :
$$\forall N, \forall\lamda_1,\cdots,\lambda_N)\in\Lambda^N, \ds\bigcap^N_{j=1}F_{\lambda_j}\neq\varnothing\Longrightarrow\ds\bigcap_{\lambda\in\Lambda}F_\lambda\neq\varnothing.$$
3) Toute suite d'éléments de $X$ admet une valeur d'adhérence.
Je ne comprends pas non plus ce que veut dire le 2).
Merci de votre aide.