Pour essayer de digérer la théorie j'essaie de faire un exercice sur les compacts.
La méthode utilisée est de voir si l'ensemble est fermé et borné, ce qui impliquerait que l'espace muni de la distance usuele soit compact.Est ce que la partie de $\R^2$ suivantes est compacte.
$$A=\{(x,y)\in\R^2|y\geq e^x,x\geq0,y\geq0\text{ et }x+y\leq2\}$$
Le $\psi^{-1}(]-\infty,0])$ à la fin, c'est une erreur dans mon corrigé, on devrait avoir $\psi^{-1}(]-\infty,2])$ ?On a :
$A=\{(x,y)\in\R^2|\Phi(x,y)\geq0, p_1(x,y)\geq0,p_2(x,y)\geq0$ et
$\psi(x,y)\leq0\}$.
où $\Phi, \psi, p_1,p_2$ de $\R^2\to\R$ sont des applications continues données par :
$\Phi(x,y)=y-e^x, p_1(x,y)=x,p_2(x,y)=y\text{ et }\psi(x,y)=x+y-2$.
Donc :
$A=\Phi^{-1}([0,+\infty[)\cap p_1^{-1}([0,+\infty[)\cap p_2^{-1}([0,+\infty[)\cap\psi^{-1}(]-\infty,0])$
$\R$ est il compact ?