Je ne comprends pas ce lemme. Si $X$ est compact, pour toute famille d'ouverts recouvrant $X$, quel que soit $x\in X$, il existe une boule de centre $x$ incluse dans un des ouverts de la famille. Où est la subtilité ?
Qu'est ce qui ne coule pas de source ?
Soit $(X,d)$ un espace métrique compact. Pour toute famille $(U_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ d'ouverts recouvrant $X$, il existe un nombre réel $\alpha$ strictement positif tel que :
$$\forall x\in X,\exists\lambda\in \Lambda/B(x,\alpha)\subset U_\lambda.$$