Sous-groupe caractéristique

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paspythagore
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Sous-groupe caractéristique

Message par paspythagore »

Bonjour.
Retour sur cette notion que je ne maîtrise pas :
Soit $G$ un groupe et $K$ un sous-groupe de $G$.
On dit que $K$ est caractéristique dans $G$ si :
$$\forall f\in Aut(G),f(g)\in K$$
Soit $G$ un groupe. Montrer que le groupe dérivé de $G$ est caractéristique.
Il faut montrer que c'est un sous-groupe de $G$. (ça OK)

Comment montrer que : $\forall f\in Aut(G),f(g)\in D(g)$ ?

Est ce que $f$ est l'application : $g,h\in G^2 \stackrel{f}{\mapsto} ghg^{-1}h^{-1}$ ?

Comment prouver que $f(g)\in D(g),\forall f\in Aut(G)$ ?

balf
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Re: sous-groupe caractéristique

Message par balf »

paspythagore a écrit : Est ce que $f$ est l'application : $g,h\in G^2 \stackrel{f}{\mapsto} ghg^{-1}h^{-1}$ ?
Non, parce que ce que vous décrivez est une application de G² dans G. L'image de cete application est l'ensemble des commutateurs.
Comment prouver que $f(g)\in D(g),\forall f\in Aut(G)$ ?
En vérifiant que l'image d'un commutateur est un commutateur, et que par un morphisme de groupes f (auto, iso, endo ou tout ce que vous voudrez), si X est une partie de G engendrant un sous-groupe < X >, f(< X >) = < f(X) >.

B.A.

Tonn83
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Re: sous-groupe caractéristique

Message par Tonn83 »

Et une question pour Paspythagore
Pouvez vous donner un exemple d'un sous-groupe normal qui ne soit pas sous-groupe caractéristique ? (Précision : normal = distingué)
Tonn83

paspythagore
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Re: sous-groupe caractéristique

Message par paspythagore »

@balf : Un commutateur, c'est $[g,h]=ghg^{-1}h^{-1}$.
$f([g,h]}=f(ghg^{-1}h^{-1})$
Et puisque $f$ est un morphisme :
$f(ghg^{-1}h^{-1})=f(g)f(h)f(g^{-1})f(h^{-1})=f(g)f(h)f(g)^{-1}f(h)^{-1}$

Donc $f([g,h]}=[f(g),f(h)]$ est un commutateur.

@Tonn83 $A_4\triangleleft S_4$.
$a=(12)(34)\in A_4$ et $s=(12)\in S_4$

$ab=(12)(34)(12)=\begin{pmatrix}1&2&3&4\\1&2&4&3\end{pmatrix}=(34)\notin A_4$ ?

Tonn83
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Re: sous-groupe caractéristique

Message par Tonn83 »

paspythagore a écrit : @Tonn83 $A_4\triangleleft S_4$.
$a=(12)(34)\in A_4$ et $s=(12)\in S_4$

$ab=(12)(34)(12)=\begin{pmatrix}1&2&3&4\\1&2&4&3\end{pmatrix}=(34)\notin A_4$ ?
Ceci est vrai de tout sous-groupe $H$ d'un groupe $G$. Si $h\in H$ mais $g\in G\setminus H$ alors $hg\notin H$. Vous n'avez pas répondu à ma question ...

Votre réponse à la question de balf est néanmoins correcte. :wink:
Tonn83