Endomorphisme linéaire continu

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paspythagore
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Endomorphisme linéaire continu

Message par paspythagore »

Bonjour.
Je vais essayer de comprendre un des chapitres qui m'est le moins clair malgré le temps que j'y ai passé.
Merci de votre aide.
Soit $E$ un espace de Banach ; l'ensemble des éléments de $\mathcal{L}(E)$ qui sont à distance strictement inférieure à $1$ de $Id$ sont inversibles dans $\mathcal{L}(E)$. Dit autrement,

$$\forall l\in B_{\mathcal{L}(E)}(Id,1), \exists! l^{-1}\in\mathcal{L}(E),l\circ l^{-1}=l^{-1}\circ l=\Id.$$

Démonstration
Posons :

$$ S_N=\ds\sum^N_{n=0}(-1)^n(l-Id)^n.$$

D'après la proposition ci-dessous, la suite $(S_N)_{N\in\N}$ converge vers un élément $l^{-1}$ de $\mathcal{L}(E)$ dès que $\Vert l-Id\Vert_{\mathcal{L}(E)}<1$. Par ailleurs, on a :


$S_Nl=S_N(Id+l-Id)$
$=Id-(-1)^{N+1}(l-Id)^{N+1}$
$=lS_N.$

En passant à la limite dans l'égalité ci-dessus, on conclut la démonstration du théorème.
Je ne comprends pas ce que veux dire ce théorème, ni quels sont les enjeux. De quoi on part, où on arrive.
Proposition :Soit $E$ un espace de Banach et $(x_n)_{n\in\N}$ une suite d'éléments de $E$. Alors, si la série $(\Vert x_n\Vert_E)_{n\in\N}$ est convergente, alors la suite :

$$S_N=\ds\sum^N_{n=0}x_n \text{ est convergente.}$$
Une question idiote pour commencer : "La série $(||x_n||)_{n\in\N}$ est convergence", ça veut bien dire "$\ds\sum^N_{n=0}||x_n||_E<\infty$" ?

D'ailleurs avec le théorème suivant, n'énonce t-il pas la propriété dans l'autre sens : 'La série $(||x_n||)_{n\in\N}$ est convergence dans un espace de Banach si et seulement si $S_N)\ds\sum^N_{n=0}x_n$ est convergente dans un espace normé $E$ ?
Si $E$ est un espace normé tel que pour toute suite $(x_n)_{n\in\N}$ on ait :

$$\ds\sum_{n\in\N}\Vert x_n\Vert_E<\infty \Longrightarrow S_N\stackrel{déf}{=}\ds\sum^N_{n=0}x_n\text{ converge},$$

alors l'espace $E$ est de Banach.
Un autre énoncé et une autre démonstration du premier théorème :
Soit $E$ un espace de Banach et $u\in\mathcal{L}(E)$.
si $||u||<1$, la série $\ds\sum u^n$ est absolument convergente.
De plus, l'endomorphisme $Id-u$ est inversible avec :
$(Id-u)^{-1}=\ds\sum^\infty_{n=0}u^n$.

Démonstration :
La série géométrique réelle $\ds\sum_{n\geq0}||u||^n$ converge et $||u^n||\leq||u^n||$, pour tout entier $n\geq1$ ; d'où $\ds\sum_{n\geq0}||u^n||<\infty$.

Pour tout entier $n\geq1$, les sommes partielles $s_n=Id+\ds\sum^n_{k=1}u^k$ vérifient $s_n\circ u=u\circ s_n=\ds\sum^n_{k=0}u^{k+1}$.

Ce qui entraine : $s_n\circ(Id-u)=(Id-u)\circ s_n=Id-u^{n+1}$
Et l'on prend la limite dans $\mathcal{L}(E)$, pour $n\to\infty$.

Puisque $\ds\lim_{n\to\infty}u_n=0$ et $\ds\lim_{n\to\infty}s_n=\ds\sum^\infty_{k=0}u^k$, on obtient $\Big(\ds\sum^\infty_{k=0}u^k\Big)\circ\Big(Id-u\Big)=(Id-u)\circ \Big(\ds\sum^\infty_{k=0}u^k\Big)=Id$.
$u^n=u\circ u\circ u$, $n$ fois ?
$||u||=\ds\sup_{||x||\leq1}||u(x)||$ ?

Je ne comprends pas cette inégalité : les sommes partielles $s_n=Id+\ds\sum^n_{k=1}u^k$ vérifient $s_n\circ u=u\circ s_n=\ds\sum^n_{k=0}u^{k+1}$

OG
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Re: Endomorphisme linéaire continu

Message par OG »

paspythagore a écrit :Merci de votre aide.

Soit $E$ un espace de Banach ; l'ensemble des éléments de $\mathcal{L}(E)$ qui sont à distance strictement inférieure à $1$ de $Id$ sont inversibles dans $\mathcal{L}(E)$. Dit autrement,

$$\forall l\in B_{\mathcal{L}(E)}(Id,1), \exists! l^{-1}\in\mathcal{L}(E),l\circ l^{-1}=l^{-1}\circ l=\Id.$$


Démonstration
Posons :

$$ S_N=\ds\sum^N_{n=0}(-1)^n(l-Id)^n.$$


D'après la proposition ci-dessous, la suite $(S_N)_{N\in\N}$ converge vers un élément $l^{-1}$ de $\mathcal{L}(E)$ dès que $\Vert l-Id\Vert_{\mathcal{L}(E)}<1$. Par ailleurs, on a :


$S_Nl=S_N(Id+l-Id)$
$=Id-(-1)^{N+1}(l-Id)^{N+1}$
$=lS_N.$

En passant à la limite dans l'égalité ci-dessus, on conclut la démonstration du théorème.


Je ne comprends pas ce que veux dire ce théorème, ni quels sont les enjeux. De quoi on part, où on arrive.
Montrer qu'un opérateur (une application linéaire continue) est bijectif n'est pas chose facile, sauf dans ce cas où c'est très facile :)
L'intérêt, les applications sont en par exemple pour l'étude du spectre (valeur propre), résoudre des pbs sous forme intégrale
(ressemble à des EDO sous forme intégrée). Cela permet aussi de montrer qu'une petite perturbation d'un inversible est encore
un inversible (donc c'est un ouvert).
On peut aussi exprimer ce résultat sous la forme, si $u$ de norme strictement plus petit que 1 alors $Id-u$ est inversible d'inverse $\sum_{n=0}^{+\infty} u^n$.
C'est presque un pur résultat algébrique (avec un zeste de topo) lié à l'identité $(1-u)*(1+u+u^2+\cdots +u^n)=1-u^n$. Ici on est dans un Banach, $\|u\|<1$
donc on passe à la limite et hop.
paspythagore a écrit : Proposition :Soit $E$ un espace de Banach et $(x_n)_{n\in\N}$ une suite d'éléments de $E$. Alors, si la série $(\Vert x_n\Vert_E)_{n\in\N}$ est convergente, alors la suite :

$$S_N=\ds\sum^N_{n=0}x_n \text{ est convergente.}$$


Une question idiote pour commencer : "La série $(||x_n||)_{n\in\N}$ est convergence", ça veut bien dire "$\ds\sum^N_{n=0}||x_n||_E<\infty$" ?
Veut dire que la série (réelle) $\sum_0^{+\infty} \| x_n\|$ converge.

Un résultat de base concernant les Banach : $(E,\|\cdot\|)$ est un Banach si et seulement si toute série normalement convergente est convergente.
paspythagore a écrit : $u^n=u\circ u\circ u$, $n$ fois ?
$||u||=\ds\sup_{||x||\leq1}||u(x)||$ ?
Yes

O.G.

paspythagore
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Re: Endomorphisme linéaire continu

Message par paspythagore »

Merci OG.

C'est plus clair.
Un résultat de base concernant les Banach : $(E,\|\cdot\|)$ est un Banach si et seulement si toute série normalement convergente est convergente.
C'est un peu ce que j'avais compris avec une formulation Beaucoup plus claire.
D'ailleurs avec le théorème suivant, n'énonce t-il pas la propriété dans l'autre sens : 'La série $(||x_n||)_{n\in\N}$ est convergence dans un espace de Banach si et seulement si $S_N=\ds\sum^N_{n=0}x_n$ est convergente dans un espace normé $E$ ?
Pour :
Posons : $$ S_N=\ds\sum^N_{n=0}(-1)^n(l-Id)^n.$$
D'après la proposition ci-dessous, la suite $(S_N)_{N\in\N}$ converge vers un élément $l^{-1}$ de $\mathcal{L}(E)$ dès que $\Vert l-Id\Vert_{\mathcal{L}(E)}<1$. Par ailleurs, on a :
$S_Nl=S_N(Id+l-Id)$
$=Id-(-1)^{N+1}(l-Id)^{N+1}$
$=lS_N.$

En passant à la limite dans l'égalité ci-dessus, on conclut la démonstration du théorème.
il va falloir que je réessaie, il a encore quelque chose qui m'empêche de comprendre.

Pour
On peut aussi exprimer ce résultat sous la forme, si $u$ de norme strictement plus petit que 1 alors $Id-u$ est inversible d'inverse $\sum_{n=0}^{+\infty} u^n$.
C'est presque un pur résultat algébrique (avec un zeste de topo) lié à l'identité $(1-u)*(1+u+u^2+\cdots +u^n)=1-u^n$. Ici on est dans un Banach, $\|u\|<1$
donc on passe à la limite et hop.
C'est parce que $\ds\lim_{n\to\infty}\Vert u^n\Vert\leq\ds\lim_{n\to\infty}\Vert u\Vert^n=0$ ?


J'ai des $\ds\sum_{n\in\N}\Vert x_n\Vert_E<\infty $ un peu partout. $<\infty$ ça veut dire converge. Ici la série converge normalement ?

Tonn83
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Re: Endomorphisme linéaire continu

Message par Tonn83 »

Une matrice réelle $A$ de taille $n$ est inversible si et seulement si son déterminant $\det(A)$ est non nul. Et dans ce cas, $A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\text{Com}(A)$. Or, $\det(M)$ se définit comme un polynôme en les coefficients de $M$. Donc l'application $\det:\mathcal{M}_n(\R)\to\R$ est une application continue (Précision : toutes les normes sur $\mathcal{M}_n(\R)$ sont équivalentes). En particulier, $GL_n(\R)=\{M\in\mathcal{M}_n(\R)|\det(M)\neq 0\}$ est une partie ouverte de $\mathcal{M}_n(\R)$.
De plus, les coefficients de $\text{Com}(M)$ sont également des polynômes en les coefficients de $M$ donc $M\mapsto \text{Com}(M)$ est une application continue $\mathcal{M}_n(\R)\to\mathcal{M}_n(\R)$. En conséquence, $M\mapsto M^{-1}$ est une application continue $GL_n(\R)\to GL_n(\R)$.

L'écriture matricielle fournit un isomorphisme d'algèbre $\mathcal{L}(\R^n)\to\mathcal{M}_n(\R)$ et cette application est un homéomorphisme. Il s'en suit que l'ensemble $GL(\R^n)$ des endomorphismes inversibles de $\R^n$ est une partie ouverte de $\mathcal{L}(\R^n)$, et l'application $f\mapsto f^{-1}$ est une application continue $GL(\R^n)\to GL(\R^n)$.

L'objectif de l'exercice que vous proposez est de démontrer que cette conclusion reste valable en dimension infinie.

Cordialement
Tonn83

paspythagore
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Re: Endomorphisme linéaire continu

Message par paspythagore »

Bonjour et merci.
Il me reste un problème sur les notations :
Si $E$ est un espace normé tel que pour toute suite $(x_n)_{n\in\N}$ on ait :

$$\ds\sum_{n\in\N}\Vert x_n\Vert_E<\infty \Longrightarrow S_N\stackrel{déf}{=}\ds\sum^N_{n=0}x_n\text{ converge},$$


alors l'espace $E$ est de Banach.
$\ds\sum_{n\in\N}\Vert x_n\Vert_E<\infty $ veut dire la série $\ds\sum_{n\in\N}x_n$ converge normalement quel que soit $x\in E$ ?

Au lieu de $\ds\sum^N_{n=0}x_n\text{ converge},$ on aurait pu écrire $\ds\sum^N_{n=0}x_n<\infty$ ?

Tonn83
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Re: Endomorphisme linéaire continu

Message par Tonn83 »

paspythagore a écrit : $\ds\sum_{n\in\N}\Vert x_n\Vert_E<\infty $ veut dire la série $\ds\sum_{n\in\N}x_n$ converge normalement quel que soit $x\in E$ ?
Oui et non. La suite $(x_n)_{n\geq0}$ est fixée et il est donc inutile de vouloir quantifier sur une variable $x$ de laquelle la propriété en fait ne dépend pas. C'est comme dire : "Pour tout entier naturel $n$, la fonction $x\mapsto 2x$ est strictement croissante sur $\R_-$."
Au lieu de $\ds\sum^N_{n=0}x_n\text{ converge},$ on aurait pu écrire $\ds\sum^N_{n=0}x_n<\infty$ ?
Non ! Aucun sens !
Tonn83

balf
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Re: Endomorphisme linéaire continu

Message par balf »

Question 1. Non : il ne s'agit pas spécialement d'une série de fonctions. Il s'agit simplement d'une série à valeurs dans un espace de Banach et par analogie avec les séries numériques, on parle de convergence absolue. Il me semble bien que la terminologie de convergence normale est réservé aux séries de fonctions.

Question 2. Cette écriture n'a de sens que si on est dans R.

@ Tonn 83 : grillé :D. Ça m'apprendra à faire une pause-café.
B.A.