Solution d'une équation intégrale

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Elmatheux
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Solution d'une équation intégrale

Message par Elmatheux »

Bonjour,
Je cherche à résoudre cette équation intégrale
$$\int_{a}^{b}\frac{y(t)}{(x-t)^{2}}dt=f(x)$$
L'inconnu est la fonction $y$ et $x$ entre $a$ et $b$.
Le problème est que je ne trouve pas une solution ou une méthode générale de résolution de cette équation.
J'aimerai votre aide pour résoudre cette équation ou toute autre information sur son type ou sa classification.
Qui est le champion ? :-)
Merci.

Tonn83
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Re: Solution d'une équation intégrale

Message par Tonn83 »

Bonjour,

Si $f$ n'est pas identiquement nulle, votre équation n'admet aucune solution. Je vous rappelle que la fonction $t\mapsto 1/t^2$ n'est pas intégrable en $0^+$.
Êtes-vous sûr de ne pas avoir commis d'erreur de frappe ?

Bien cordialement,
Tonn83

OG
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Re: Solution d'une équation intégrale

Message par OG »

Bonjour

N'y aurait-il pas un problème avec le dénominateur ?

O.G.

Elmatheux
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Re: Solution d'une équation intégrale

Message par Elmatheux »

Mille pardon, j'ai oublié de préciser que l'intégration se fait au sens de la valeur principale de Cauchy, ça permet de contourner la singularité $t=x$.
Aussi, dans certains problèmes physiques est toléré un certain "manque de rigueur" mathématique, comme dans le cas de la résolution des EDO ou EDP ou même les fonctions implicites.
Pour un $(x-t)$ au dénominateur, une solution existe, Vous pouvez consulter ce lien
http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ie/ie0310.pdf
pour avoir une idée.
J'espère avoir plus précis dans cette intervention.

Tonn83
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Re: Solution d'une équation intégrale

Message par Tonn83 »

Bonjour,

Nous pouvons généraliser le problème en posant une fonction $h$ est définie et continue sur $\R^*$ : comment résoudre l'équation
$\forall x\in ]a,b[\, ,\quad \int_a^by(t)h(x-t)\text{d} t=f(x)$ ?

Sommes-nous d'accord sur la définition de valeur principale ? Pour $a<x<b$,
$\int_a^by(t)h(x-t)\text{d}t$ $=\lim_{\epsilon\to 0^+}\left(\int_a^{x-\epsilon}y(t)h(x-t)\text{d}t+\int_{x+\epsilon}^by(t)h(x-t)\text{d}t\right)$
J'ai affirmé que l'équation ci-dessus n'admet aucune solution continue si $h(u)=1/u^2$ et si $f$ est non identiquement nulle.

Supposons $y(x)\neq 0$. Alors, quand $\epsilon$ tend vers $0^+$,

$$\int_a^{x-\epsilon}y(t)h(x-t)\text{d}t\sim \frac{y(x)}{\epsilon} \text{ et } \int_{x+\epsilon}^by(t)h(x-t)\text{d}t \sim \frac{y(x)}{\epsilon}$$
Ne voyez-vous pas le problème ?
Tonn83

Elmatheux
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Re: Solution d'une équation intégrale

Message par Elmatheux »

Merci Ton83,
Très bonne démarche. Il y a une solution pour l'équation que vous avez obtenu mais sous des conditions différentes, je vous propose les deux seuls liens que j'ai trouvé pour plus de précisions
http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ie/ie0322.pdf
http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ie/ie0323.pdf

Pour la définition de la valeur principale de Cauchy, nous sommes totalement d'accord.
Pour ce qui est du "J'ai affirmé que l'équation ci-dessus n'admet aucune solution ....." je ne sais pas trop, mais ça me semble juste.

Pour la dernière phrase, j'ai des doutes sur votre développement et l'équivalence que vous obtenez. Mais je vois le problème si la fonction $y$ était une donnée, ce qui n'est pas le cas. Je dois chercher cette fonction $y$ qui me permet de contourner la singularité $x=y$.
En ce moment je cherche un théorème qui garantit l'existence d'une solution $y$.
Je crois que qu'il faut que je cherche du côté de la partie finie de Hadamard. Je pense que ça peut aider.

Cordialement.