Calcul differentiel : notations et démonstration

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paspythagore
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Calcul differentiel : notations et démonstration

Message par paspythagore »

Bonjour du mal avec les notations sur ce cours.
définition : Soit $f$ une fonction d'un intervalle ouvert $\Omega$ dans $E$ à valeurs dans $F$ et $a$ un point de $\Omega$. On dit que la fonction $f$ est différentiable au point $a$ si et seulement si, il existe une application linéaire $L$ continue de $E$ dans $F$ telle que, pour tout réel strictement positifs $\varepsilon$, il existe un réel strictement positif $\alpha$ tel que la boule ouverte $B(a,\alpha)$ de centre $a$, et de rayon $\alpha$ soit incluse dans $\Omega$ et tel que :
$$\forall\vect{h}\in B(0,\alpha),\Vert f(a+\vect{h})-f(a)-L\cdot\vect{h}\Vert_F<\varepsilon\Vert\vect{h}\Vert_E$$
Si une fonction est différentiable en tout point d'un ouvert $\Omega$, elle est dite "différentiable sur $\Omega$".
Quelques difficultés à comprendre le $a+\vect{h}$ même si c'est ce que j'ai vu l'année dernière en géométrie affine puisque ici on va parler de la norme de l'image d'un point ($a$ ou $a+\vect{h}$) sans vaiment savoir de quoi il s'agit même si bien sûr, dans les exercices, on est presque toujours dans $\R$ ou $\R^N$.
Même chose pour $L\cdot\vect{h}$ c'est un élément de $F$ mais est ce un produit scalaire ?

Ca ne s'arrange pas avec les exemples.
Exemple : soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $(\vect{e_j})_{1\leq j\leq N}$.

On considère comme norme :
$$N(x)\stackrel{déf}{=}\Big(\ds\sum^N_{j=1}x_j^2\Big)^{1/2}\text{ avec }x=\ds\sum^N_{j=1}x_j\vect{e_j}$$

La fonction $f(x)\stackrel{déf}{=}N^2(x)$ est différentiable sur $E$ et l'on a, pour tout point $a$ de $E$,
$$df(a)\cdot\vect{h}=2(a|\vect{h})\text{ avec }$(x|y)\stackrel{déf}{=}\ds\sum^N_{j=1}x_jy_j$$

En effet, on a :
$$N^2(a+\vect{h})=N^2(a)+2(a|\vect{h})+N^2(\vect{h}).$$
Pour la rédaction, je suis perdu :

$\Vert\ds\sum(xj-\vect{h_j})^2-\ds\sumx_j^2\Vert_F$

$\vert-2\ds\sumx_j\vect{h_j}+\ds\sum \vect{h_j}^2\Vert_F$

$2\Vert \ds\sum x_j\vect{h_j}\Vert_F$

Ce qui donne en $a$ : $2\Vert\ds\sum a_j\vect{h_j}\Vert_F=2(a|\vect{h})$

Mais en plus le $2(a|\vect{h})$, produit scalaire d'un point et d'un vecteur me dépasse même si dans les deux cas, on bien des coordonnées.
théorème ; Soient $f$ une application d'un ouvert $\Omega$ d'un espace normé $E$ dans un ouvert $\Omega'$ d'un espace normé $F$ et $g$ une application de $\Omega'$ dans un espace normé $G$ et $a$ un point de $\Omega$. Si $f$ est différentiable au point $a$ et si $g$ est différentiable au point $f(a)$, alors l'application $g\circ f$ est différentiable au point $a$ et l'on a :
$$D(g\circ f)(a)=Dg(f(a))\circ Df(a)$$
Posons :

$$\Delta_a(\vec{h})\stackrel{déf}{=}g(f(a+\vec{h}))-g(f(a))-Dg(f(a))\cdot(Df(a)\cdot\vec{h})$$

Ecrivons alors que : $\Delta_a(\vec{h})=\Delta_a^{(1)}(\vec{h})+\Delta_a^{(2)}(\vec{h})$ avec :

$$
\Delta_a^{(1)}(\vec{h})&\stackrel{déf}{=}g(f(a+\vec{h}))-g(f(a))-Dg(f(a))(f(a+\vec{h})-f(a))\text{ et }$$
$$\Delta_a^{(2)}(\vec{h})&\stackrel{déf}{=}Dg(f(a))(f(a+\vec{h})-f(a)-Df(a)\cdot\vec{h}).
$$

Soit $\epsilon$ un réel positif quelconque. il existe un réel $\alpha_0$ strictement positif tel que :

$$\Vert\vec{h}\Vert_E<\alpha_0\Longrightarrow$$
$$\Vert f(a+\vec{h})-f(a)-Df(a)\cdot\vec{h}\Vert_F<\dfrac{\epsilon\Vert\vec{h\Vert_E}}{2\Vert Dg(f(a))\Vert_{\mathcal{L}(E)}}(1)$$

Par définition de $\Delta_a^{(2)}$, on a :

$$\Vert{\vec{h}}\Vert_E<\alpha_0\Longrightarrow\Vert\Delta_a^{(2)}(\vec{h})\Vert_G<\dfrac{\epsilon}{2}\Vert\vec{h}\Vert_E.(2) $$

La fonction $g$ étant différentiable en $f(a)$. Il existe un réel strictement positif $\beta$ tel que :

$$\Vert\vec{k}\Vert_F<\beta\Longrightarrow$$
$$\Vert g(f(a)+\vec{k})-g(f(a))-Dg(f(a))\cdot\vec{k}\Vert_G<\dfrac{\epsilon\Vert \vec{k}\Vert_F}{2\Vert D(f(a)\Vert_{\mathcal{L}(E)}+2}.$$

La fonction $f$ étant différentiable, il existe un réel strictement positif $\alpha_1$ tel que :

$$\Vert\vec{h}\Vert_E<\alpha_1\Longrightarrow\Vert f(a+\vec{h})-f(a)\Vert_F<(\Vert Df(a)\Vert_{\mathcal{L}(E)}+1)\Vert\vec{h}\Vert_E.$$

On en déduit alors de (2) que :

$$\Vert\vec{h}\Vert_E<\min\lbrace\alpha_0,\alpha_1,\dfrac{\beta}{\Vert Df(a)\Vert_{\mathcal{L}(E)}+1}\rbrace\Longrightarrow \Vert\Delta_a(\vec{h})\Vert_G<\epsilon\Vert\vec{h}\Vert_E.$$

D'où le théorème.
Je ne comprends à quoi correspondent $\delta^{(1)}$ et $\delta^{(2)}$, ni comment on arrive à (1).
Pour le (1), on utilise le fait que $f$ soit différentiable mais que devient le $+2$ du dénominateur.

Merci de m'aider à comprendre précisément quels objets je manipule.

Minibob59
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Re: Calcul differentiel : notations et démonstration

Message par Minibob59 »

Bonsoir !

L'objet $L \cdot \overrightarrow{h}$ n'est pas un produit scalaire, et on devrait le noter $L(h)$. Il s'agit simplement de l'image de $h$ par l'application linéaire $L$.

Je n'arrive pas à lire ce qui suit l'exemple de la norme 2 élevée au carré...

Pour la composition d'applications différentiables, je dis peut-être une bêtise (il est vrai que c'est un chapitre assez difficile au début), mais de mémoire, la démonstration la plus simple du théorème consiste à écrire des DL puis à les composer...
Je m'explique : la notion de différentiabilité consiste à dire qu'une application $f : E \to F$ est approchable par une fonction affine en un point $a\in E$. On peut ainsi écrire :
$$f(a + h) = f(a) + \mathrm{d}_f(a)(h) + o(\Vert h \Vert)$$
à condition que l'on comprenne bien ce que l'on écrit (il s'agit juste d'une notation commode pour résumer la définition que tu donnes de la différentiabilité, définition qui est la bonne).
Ainsi, on peut écrire, si $b = f(a)$ :
$$g(b+k) = g(b) + \mathrm{d}_g(b)(k) + o(\Vert k \Vert)$$
d'où :
$$g(f(a+h)) = g(f(a) + \mathrm{d}_f(a)(h) + o(\Vert h \Vert)) $$
$$= g(f(a)) + \mathrm{d}_g(\mathrm{d}_f(a)) + o(\Vert h \Vert)$$

Ceci reste l'idée de la démonstration. Il faut être rigoureux sur les "petits o" pour que ce soit vraiment justifié...
Dernière modification par Minibob59 le samedi 02 novembre 2013, 22:36, modifié 2 fois.
Minibob59 !

balf
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Re: Calcul differentiel : notations et démonstration

Message par balf »

a + h est simplement le translaté du point a d'un espace affine de direction E par le vecteur h de E. Comme ici, l'espace affine est E lui-même, il s'agit en fait de la somme des vecteurs.

L·h est une autre notation pour L(h).

Votre rédaction pour l'exemple de la norme n'est pas claire… Cela dit, (a|h) est ici le produit scalaire de deux vecteurs. D'ailleurs la norme concerne des espaces vectoriels, pas des espaces affines. Et si par hasard on parle de la norme d'un point, il faut sans doute comprendre qu'on parle de la norme du vecteur associé après qu'on a choisi une origine, ce qui vectorialise l'espace affine.

B.A.

Minibob59
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Re: Calcul differentiel : notations et démonstration

Message par Minibob59 »

Je viens de relire ton message et de me rendre compte que je n'ai pas exactement répondu à la question que tu te posais...
De façon un peu plus précise, je reprends donc la démonstration de la différentielle d'une composée.
Soient $U$ et $V$ des ouverts respectifs de $E$ et $F$ et $f : U \to V$ et $g:V \to G$ deux applications telles que $f$ est différentiable en $a \in U$ et $g$ est différentiable en $b = f(a) \in V$. La composée $g \circ f$ est alors différentiable en $a$ et on a $\mathrm{d}(g \circ f)_a = \mathrm{d}g_b \circ \mathrm{d}f_a$.
D'abord, on remarque que $\mathrm{d}g_b \circ \mathrm{d}f_a$ est bien une application linéaire de $E$ dans $G$.

D'autre part, on sait qu'il existe $\alpha > 0$ tel que pour tout $h \in E$ :
$$\Vert h \Vert \leq \alpha \implies a+h \in U \text{ et } f(a+h) = f(a) + \mathrm{d}f_a(h) + \Vert h \Vert\varepsilon(h)$$ avec $\varepsilon$ une fonction qui tend vers $0_F$ quand $h$ tend vers $0_E$.
De même pour $b+k \in V$ :
$$g(b+k) = g(b) + \mathrm{d}g_b(k) + \Vert h \Vert\varepsilon_1(k)$$ avec $\varepsilon_1$ une fonction qui tend vers $0_G$ quand $k$ tend vers $0_F$.

Ainsi pour $h\in E$ et $\Vert h \Vert \leq \alpha$ :
$$g(f(a+h)) = g(f(a)) + \mathrm{d}g_b(\mathrm{d}f_a(h) + \Vert h \Vert\varepsilon(h)) $$ $$\qquad\qquad + \left( \Vert \mathrm{d}f_a(h) + \Vert h \Vert\varepsilon(h)\Vert \right) \varepsilon_1(\mathrm{d}f_a(h) + \Vert h \Vert\varepsilon(h))$$ $$\qquad = g(f(a)) + \mathrm{d}g_b(\mathrm{d}f_a(h)) + \Vert h \Vert \phi(h)$$ où $\phi(h) = \mathrm{d}g_b(\varepsilon(h)) + \left\Vert \dfrac{\mathrm{d}f_a(h)}{\Vert h \Vert} + \varepsilon(h) \right\Vert \varepsilon_1(\mathrm{d}f_a(h) + \Vert h \Vert \varepsilon(h))$, par linéarité de $\mathrm{d}g_b$.

Or, comme $\mathrm{d}f_a$ est linéaire donc continue (on est bien en dimension finie pour $E$, hein ?), le quotient $\dfrac{\mathrm{d}f_a(h)}{\Vert h \Vert}$ reste borné, et donc $\phi(h) \to 0_G$ quand $h \to 0_E$.
Ce qui termine la démonstration.

J'espère que c'est un peu plus clair comme ça... Pour la démonstration, c'est ce qui me semble être le plus simple, sauf si tu veux utiliser les matrices jacobiennes, auquel cas, c'est fait en deux lignes ! :p
Minibob59 !

paspythagore
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Re: Calcul differentiel : notations et démonstration

Message par paspythagore »

Bonsoir et merci.
@balf : "Votre rédaction pour l'exemple de la norme n'est pas claire… " : elle n'est pas claire pour moi non plus mais c'est celle que j'ai dans mon cours, je suis preneur d'une méthode et d'une rédaction mieux adaptée.
@aMinibob59 : c'est plus clair et je suis preneur de la méthode avec les jacobiens. Une question, comment passe t-on de :

$g(f(a+h))=g(f(a)+df_a(h)+\Vert h\Vert\varepsilon(h))$ à

$$g(f(a+h)) = g(f(a)) + \mathrm{d}g_b(\mathrm{d}f_a(h) + \Vert h \Vert\varepsilon(h)) $$

$$\qquad\qquad + \left( \Vert \mathrm{d}f_a(h) + \Vert h \Vert\varepsilon(h)\Vert \right) \varepsilon_1(\mathrm{d}f_a(h) + \Vert h \Vert\varepsilon(h))$$

On considère seulement $k=df_a(h)+\Vert h\Vert\varepsilon(h))$ petit ?

Minibob59
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Re: Calcul differentiel : notations et démonstration

Message par Minibob59 »

Pour le passage qui te pose problème dans la démo que je propose, c'est exactement ça, on pose $k = \mathrm{d}f_a(h) + \Vert h \Vert \varepsilon(h)$ petit (ce qui est vrai car $h$ tend vers $0$ et $\mathrm{d}f_a$ est continue).

Pour les jacobiennes, je me suis en fait trompé... C'est pour démontrer que si $f$ et $g$ sont de classe $\mathcal{C}^1$ alors $g \circ f$ l'est également.
Ceci dit, on peut reprendre la démonstration précédente avec une écriture matricielle, et il est peut-être plus aisé de voir les étapes de calcul (notamment la linéarité des différentielles qui se traduit simplement par le développement du produit matriciel par rapport à l'addition...

Pour l'exemple avec la norme 2 : écrire $N(a+h)^2$ sous forme d'une somme puis développe les carrés dans la somme. Ensuite on casse la somme en trois et on identifie les termes.
Minibob59 !

paspythagore
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Re: Calcul differentiel : notations et démonstration

Message par paspythagore »

Merci.

pour l'exemple avec la norme 2 :

$N^2(x+h)^2=\ds\sum_{j=1}^N(x_j+h_j)^2=\ds\sum_{j=1}^N(x_j^2+2x_jh_j+h_j^2)$

$N^2(x+h)^2-N^2x^2=\ds\sum_{j=1}^N(2x_jh_j+h_j^2)=(x|\vec{h})+||\vec{h}||^2$

Et donc $df_a\vec{h}=(a|\vec{h})$

Minibob59
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Re: Calcul differentiel : notations et démonstration

Message par Minibob59 »

Il manque un facteur 2 mais c'est ça ! :-)
Minibob59 !

paspythagore
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Re: Calcul differentiel : notations et démonstration

Message par paspythagore »

Ok merci.