Operateur de Hilbet shmidt

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dhahri
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Operateur de Hilbet shmidt

Message par dhahri »

Bonjour a tous,
j'ai du mal a affirmer ou non que l'operateur $Q$ donne ci dessus est de Hilbet Shmidt ou non?

$Qf(x)=\int_R e^{xy}f(y)dw(y)$

ou $dw(y)=e^{-y^2} dy$ et $f\in L^2(R,dw)$.

Merci bien pour vos remarques et commentaires

Tonn83
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Re: Operateur de Hilbet shmidt

Message par Tonn83 »

Première question à se poser : pour tout $f\in L^2(\R,\text{d}w)$, la fonction associée $Qf$ appartient-elle également à $L^2(\R,\text{d}w)$ ? Si oui, il est évident que $Q:f\mapsto Qf $ est un opérateur sur l'espace vectoriel $L^2(\R,\text{d}w)$. Cet opérateur est-il continu ? Si oui pourquoi ?

Pour en venir à votre question : L'espace $L^2(\R,\text{d}w)$ est un espace de Hilbert séparable (pourquoi ?) ; il admet par conséquent une base hilbertienne $(e_n)_{n\geq 0}$. Par définition, l'opérateur $Q$ est de Hilbert-Schmidt si et seulement si la série $\sum_{n\geq 0}\|Qe_n\|^2$ converge où $\|\cdot\|$ désigne la norme hilbertienne que vous avez introduite. Pouvez-vous exprimer $\|Qe_n\|^2$ sous forme d'une intégrale ? Quand on a une série d'intégrale, qu'est-ce que l'on a naturellement envie de faire ? :D
Tonn83

dhahri
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Re: Operateur de Hilbet shmidt

Message par dhahri »

Tonn83 a écrit : Pouvez-vous exprimer $\|Qe_n\|^2$ sous forme d'une intégrale ?D
Merci bien pour les commentaires. QUant a la reponse de cette question est la suivante

$$ \|Qe_n\|^2=\int_R Qe_n(x)Qe_n(x)w(x)dx$$

et apres?

Tonn83
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Re: Operateur de Hilbet shmidt

Message par Tonn83 »

Bonjour,

Les fonctions sont-elles à valeurs réelles ou à valeurs complexes ? On peut donc écrire en toute généralité $$\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\|Qe_n\|^2=\sum_{n=0}^{+\infty}\int_{\R}|(Qe_n)(x)|^2w(x)\de w\, .$$ Il s'agit de séries à termes positifs. J'adopte la convention suivante : si une série à termes positifs diverge, sa somme totale vaut $+\infty$ (limite des sommes partielles).
Que peut-on bien faire quand on a une série d'intégrales ?
Tonn83