dérivées partielles et differentiabilité

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau supérieur au baccalauréat.

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paspythagore
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dérivées partielles et differentiabilité

Message par paspythagore »

Bonjour.
J'essayais de revoir des notions que je pensais acquises. Des problèmes de calculs me sont apparus.
Merci de votre aide pour les résoudre.
Enoncé :
La fonction : $f:\R^2\to\R,f(x,y)=\dfrac{xy^3}{x^4+y^2}$ si $(x,y)\neq(0,0)$ et $f(0,0)=0$
1/ est elle continue en $(0,0)$ ?
2/ différentiable en $(0,0)$ ?
3/ de classe $C^1$ ?
1/ Pour tout $(x,y)\neq(0,0)$ on a $|f(x,y)|=\dfrac{|x||y|^3}{x^4+y^2|\leq|xy|$ donc $|f(x,y)|$ tend vers $0=f(0,0)$ quand $(x,y)$ tend vers $(0,0)$ et $f$ est continue en $(0,0)$.

2/ Les dérivées partielles de $f$ en $(x,y)\neq(0,0)$ sont données par ;
$\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\dfrac{y^5-3x^4y^3}{(x^4+y^2)^2}$ et $\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\dfrac{xy^4-3x^5y^2}{(x^4+y^2)^2}$

Donc : $$\left|\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)\right|\leq|y|\left(\dfrac{y^2}{x^4+y^2}\right)^2+3|y|\left(\dfrac{yx^2}{x^4+y^2}\right)^2\leq|y|+\dfrac{3|y|}{4}$$
et alors $\left|\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)\right|$ tend vers $0$ quand $(x,y)$ tend vers $(0,0)$.
De même $\left|\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right|$

d'autre part,
$\dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\ds\lim_{h\to0}\dfrac{f(h,0)-f(0,0)}{h}= 0$ et $\dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\ds\lim_{h\to0}\dfrac{f(h,0)-f(0,0)}{h}= 0$

Donc les fonctions dérivées partielles sont continues en $(0,0)$. On en déduit que $f$ est différentiable de classe $C^1$ en $(0,0)$.
Mes soucis sont donc d'arriver aux résultats 1/ $|f(x,y)|=\dfrac{|x||y|^3}{x^4+y^2|\leq|xy|$ et
2/ $\dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\ds\lim_{h\to0}\dfrac{f(h,0)-f(0,0)}{h}= 0$ par exemple.
Je ne sais plus faire le second.
Mais pour le premier, je pensais partir de $(x^2-y)^2=x^4+y^2-2x^2y\geq0$ qui donne $x^4+y^2\geq2|x|^2y$ puis $\dfrac{1}{x^4+y^2}\leq\dfrac{1}{2|x|^2y}$... et puis je ne sais plus.

Minibob59
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Re: dérivées partielles et differentiabilité

Message par Minibob59 »

Bonjour !

Pour la question 1 : $x^4 \geq 0 \implies x^4 + y^2 \geq y^2 \implies \dfrac{y^2}{x^4 + y^2} \leq 1$...

Pour la suite, je n'ai pas compris ce qui bloque...
Minibob59 !

paspythagore
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Re: dérivées partielles et differentiabilité

Message par paspythagore »

Merci pour le 1/, ça revient.
Pour le 2/, $f(h,0)=\dfrac{0}{h}=0$ et $f(0,0)=0$ donc $\ds\lim_{h\to0}\dfrac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\ds\lim_{h\to0}\dfrac{0}{h}=0$ ?

Minibob59
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Re: dérivées partielles et differentiabilité

Message par Minibob59 »

Oui donc on a continuité des dérivées partielles en $(0,0)$...
Dernière modification par Minibob59 le mercredi 06 novembre 2013, 22:13, modifié 1 fois.
Minibob59 !

paspythagore
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Re: dérivées partielles et differentiabilité

Message par paspythagore »

OK merci, je n'étais pas sûr de la rédaction.