Homéomorphisme

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woodoo
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Homéomorphisme

Message par woodoo »

Bonsoir,

j'ai un problème avec l'exercice suivant:
On considère $E = \{ ( \cos(t) , \sin(t)) : 0 < t < 2\pi \} \subset \R^{2}$ avec la distance induite. Est-ce que $E$ est homéomorphe à $\R$?
Je sais que $E$ n'est pas homéomorphe à $\R$, mais je ne comprend pas pourquoi.

Si on prend $f: \R \to E,\ x \mapsto e^{ix}=\cos(x) + i\sin(x)$, $f$ est continue car le sinus et le cosinus sont des fonctions continues, et leurs réciproques arcsinus et arccosinus sont aussi continues, non?

Tonn83
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Re: Homéomorphisme

Message par Tonn83 »

Ouille ! Non. :( Que viennent faire les fonctions trigonométriques réciproques dans cette affaire ? Comment les définissez vous ?

Vous devez vous restreindre à l'intervalle $]0,2\pi[$ pour donner un sens à votre application. En outre, il faut justifier que $f$ est une bijection avant de justifier que c'est un homéo.
Tonn83

woodoo
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Re: Homéomorphisme

Message par woodoo »

Tonn83 a écrit :Vous devez vous restreindre à l'intervalle $]0,2\pi[$ pour donner un sens à votre application.

Oui je suis tout à fait d'accord.
Tonn83 a écrit :En outre, il faut justifier que $f$ est une bijection avant de justifier que c'est un homéo.
Je suis aussi d'accord, mais en plus d'être bijective, $f$ et sa réciproque doivent être continues pour qu'on puisse parler d'homéomorphisme.
Or j'ai cherché sur internet, et j'ai vu sur wikipedia qu'il n'existait pas d'homéomorphisme entre le cercle et $\R$ car la réciproque de $f$ n'était pas continue en $(1, 0)$.

Du coup je me demandais comment calculer la réciproque de $f(x) = (\cos(x), \sin(x))$? Vous avez l'air de dire qu'il ne faut pas passer par les fonctions trigonométriques réciproques.

balf
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Re: Homéomorphisme

Message par balf »

woodoo a écrit : Or j'ai cherché sur internet, et j'ai vu sur wikipedia qu'il n'existait pas d'homéomorphisme entre le cercle et $\R$ car la réciproque de $f$ n'était pas continue en $(1, 0)$.
Oui, ou parce qu'ils n'ont pas le même groupe fondamental.

Cela posé, E n'est pas le cercle, mais le cercle privé d'un point, et lui, il est homéomorphe à l'ouvert ]0, 2π[ (ou ]0, 1[, c'est pareil), donc à R.
Du coup je me demandais comment calculer la réciproque de $f(x) = (\cos(x), \sin(x))$? Vous avez l'air de dire qu'il ne faut pas passer par les fonctions trigonométriques réciproques.
L'abscisse curviligne, sur le cercle trigonométrique moins son origine, n'est pas un peu continue ?

Tonn83
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Re: Homéomorphisme

Message par Tonn83 »

woodoo a écrit :
Tonn83 a écrit :En outre, il faut justifier que $f$ est une bijection avant de justifier que c'est un homéo.
Je suis aussi d'accord, mais en plus d'être bijective, $f$ et sa réciproque doivent être continues pour qu'on puisse parler d'homéomorphisme.
Or j'ai cherché sur internet, et j'ai vu sur wikipedia qu'il n'existait pas d'homéomorphisme entre le cercle et $\R$ car la réciproque de $f$ n'était pas continue en $(1, 0)$.
Il semble que vous n'ayez pas compris le sens de ma remarque. Un homéomorphisme est une bijection continue dont en effet l'application réciproque est continue. Mais avant d'étudier la continuité de l'application réciproque, vous devez démontrer que l'application étudiée est bijective. C'est la toute première chose à démontrer. L'application $f:\R\to\mathbb{S}$ (où $\mathbb{S}$ désigne le cercle) est continue et surjective mais elle n'est pas bijective. En particulier, elle n'admet pas d'application réciproque !
Vous avez l'air de dire qu'il ne faut pas passer par les fonctions trigonométriques réciproques.
La fonction $\arccos$ par exemple est l'application réciproque de $\cos:[0,\pi]\to [-1,1]$. Là pour faire court, on travaille sur $]0,2\pi[$ !
Tonn83

woodoo
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Re: Homéomorphisme

Message par woodoo »

balf a écrit :Cela posé, E n'est pas le cercle, mais le cercle privé d'un point, et lui, il est homéomorphe à l'ouvert ]0, 2π[ (ou ]0, 1[, c'est pareil), donc à R.
Ok maintenant c'est clair, mais votre réponse:
balf a écrit :L'abscisse curviligne, sur le cercle trigonométrique moins son origine, n'est pas un peu continue ?
je ne suis pas sûr de bien comprendre ce que vous voulez dire.
J'ai recherché ce qu'étais une abscisse curviligne, et il se trouve que je n'ai jamais fait de géométrie différentielle, donc je vous crois sur parole si vous me dite que c'est continue. :)

Néanmoins, j'ai encore une question, comment calculer la réciproque de $f$?

Merci pour votre réponse, et bon dimanche.

EDIT:
Je viens de voir la réponse de Tonn83.

Je vois ce que vous voulez dire, mais j'ai l'impression qu'il y a une contradiction avec la réponse de Balf: si $f$ n'admet en effet pas de réciproque, le cercle ne peut pas être homéomorphe à $]0, 2\pi[$, non? Pourtant il me semble avoir prouvé une fois qu'il existait bien une bijection entre le cercle et $[0,1]$.

balf
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Re: Homéomorphisme

Message par balf »

Non, il n'y a pas de bijection (continue) du cercle sur $[0,1]$, mais sur $[0,1[$, par exemple.

L'abscisse curviligne d'un point M du cercle trigonométrique, c'est tout simplement son angle polaire (en radians), c.-à-d. la longueur de l'arc $AM$, parcouru dans le sens positif ($A = (0, 1)$). Si on veut une définition moins « géométrique », on peut partir de la paramétrisation rationnelle du cercle privé du point A (parcouru dans le sens trigonométrique) :

$$x = (u² – 1)/(u² + 1), y = –2u/(u² + 1)$$

Pour avoir l'abscisse curviligne du point $M(x(u), y(u))$, on calcule alors l'intégrale

$$\displaystyle\int_{-\infty}^u \!\!\!\sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)}\mathrm{d}t.$$

Derrière tous les calculs, il y a bien sûr des formules de trigonométrie.
B.A.

Tonn83
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Re: Homéomorphisme

Message par Tonn83 »

balf a écrit :Non, il n'y a pas de bijection (continue) du cercle sur [0, 1], mais sur [0, 1[, par exemple.
Non plus ! Il n'existe aucune bijection continue du cercle sur $[0,1[$, pas plus qu'il n'existe de bijection continue du cercle sur $[0,1]$. L'intervalle fermé $[0,1]$, l'intervalle semi-ouvert $[0,1[$, l'intervalle ouvert $]0,1[$ et le cercle sont des espaces deux à deux non homéomorphes !
woodoo a écrit :Je vois ce que vous voulez dire, mais j'ai l'impression qu'il y a une contradiction avec la réponse de Balf: si $f$ n'admet en effet pas de réciproque, le cercle ne peut pas être homéomorphe à $]0, 2\pi[$, non? Pourtant il me semble avoir prouvé une fois qu'il existait bien une bijection entre le cercle et $[0,1]$.
Aucune contradiction. Je faisais référence à l'application $f:\R\to \mathbb{S}$ que vous avez définie dans votre tout premier message.

On peut introduire l'abscisse curviligne mais ce n'est pas du tout utile ici !

Pour qu'il n'y ait plus d'ambiguité, je pose $g:]0,2\pi[\to E$ l'application donnée par $g(\theta)=(\cos(\theta),\sin(\theta))$.
Calculez simplement, pour $\theta\in ]0,2\pi[$,
$\displaystyle \frac{\sin(\theta)}{1-\cos(\theta)}=?$
Vous verrez immédiatement que $g$ et que sa réciproque $g^{-1}:E\to ]0,2\pi[$ est continue !
Dernière modification par Tonn83 le lundi 11 novembre 2013, 12:22, modifié 1 fois.
Tonn83

balf
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Re: Homéomorphisme

Message par balf »

@Tonn83 : une fois de plus je suis allé trop vite — et pensais « dans l'autre sens » (de l'intervalle vers le cercle) ! :oops:

Pour g, il y a un petit problème : ce n'est pas défini en $\pi$. Il faudrait que θ appartienne à $]–\pi,\pi[$, ce qui revient à exclure le point (-1,0). C'est justement parce que j'étais infichu de trouver la bonne fonction trigonométrique que j'ai proposé la paramétrisation rationnelle et l'abscisse curviligne. Ce qui est inutilement compliqué, je le reconnais.

Edit : pour garder l'intervalle $]0,\pi[$, il faut prendre, sauf erreur de ma part, la fonction $\sin \theta /(1 – \cos \theta)$. La réciproque est à peine moins simple que dans le premier cas.

B.A.

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Re: Homéomorphisme

Message par Tonn83 »

balf a écrit :Pour g, il y a un petit problème : ce n'est pas défini en π. [...]
Edit : pour garder l'intervalle ]0, π [, il faut prendre, sauf erreur de ma part, la fonction sin θ /(1 – cos θ). La réciproque est à peine moins simple que dans le premier cas.
Il me semble que vous confondez $g$ et le travail préliminaire permettant d'exprimer sa réciproque. L'application $g$ est définie sur l'intervalle ouvert $]0,2\pi[$. J'ai fait une faute de frappe que j'ai corrigée en rééditant mon précédent message. :wink:
Pour prouver que $g$ est une bijection, je propose @ woodoo de calculer
$\displaystyle \frac{\sin(\theta)}{1-\cos(\theta)}$ pour $0<\theta<2\pi$.
Tonn83

balf
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Re: Homéomorphisme

Message par balf »

Oui, je voulais dire qu'il y a un problème avec sa réciproque…

B.A.

woodoo
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Re: Homéomorphisme

Message par woodoo »

Bonsoir,

je vois vos messages avec beaucoup de retard, j'en suis navré.
J'ai été pris par mes séries d'exercices à rendre, (d'ailleurs cet exercice faisait partie d'une des séries).
Je pense que j'ai réussi à le faire. Je n'ai pas encore eu les corrections, mais néanmoins la méthode semblait correct.

J'ai utilisé une projection stéréographique. Je poste ici la méthode que j'ai utilisée, car elle soulève une question qui est selon moi intéressante.

Image

Comme illustré ci-dessus, $E$ a une discontinuité en $(1, 0)$. C'est donc depuis ce point qu'on va effectuer notre projection, sur l'axe $Oy$.
Ce qu'on cherche, c'est la deuxième coordonnée du point $(0, p)$. Pour cela on fait une droite passant par $(1, 0)$, $(\cos t, \sin t)$ et $(0, p)$. On a tout pour déterminer l'équation de la droite passant par ces trois points. Elle est donnée par $y = mx + p$. Après quelques rapides calculs on trouve que $m = \frac{-\sin t}{1 - \cos t}$ et $p = \frac{ \sin t}{1 - \cos t} = \cot\left( \frac{t}{2} \right)$.
En procédant ainsi pour tous les points de $E$, on aura bien une bijection entre $E$ et $\R$, donnée par
$$
\begin{array}{c c c c}
f: & E & \to & \R\\
& \displaystyle \left(\begin{array}{c}\cos t \\\sin t\end{array}\right) & \mapsto & \cot\left( \frac{t}{2} \right)
\end{array}
$$
On sait que $\cot\left( \frac{t}{2} \right)$ est continue sur $]0, 2\pi[$ et son image est $\R$.
Il faut donc trouver la réciproque de $f$ et montrer qu'elle est continue.
$$
\begin{array}{c c c c c c}
f^{-1}: & \R & \to & ]0, 2\pi[ & \to & \R\\
& x & \mapsto & 2\mathrm{arccot} x & \mapsto & \displaystyle \left(\begin{array}{c}\cos (2\mathrm{arccot} x) \\\sin (2\mathrm{arccot} x)\end{array}\right)
\end{array}
$$
Sur $]0, 2\pi[$, $\mathrm{arccot}$ est continue, et $t \mapsto \displaystyle \left(\begin{array}{c}\cos t \\\sin t\end{array}\right)$ est continue. Comme la composition d'application continue est continue,
on a que $x \mapsto \displaystyle \left(\begin{array}{c}\cos (2\mathrm{arccot} x) \\\sin (2\mathrm{arccot} x)\end{array}\right)$ est continue.
Donc $f$ est une bijection continue, et donc un homéomorphisme. Donc $E$ est homéomorphe à $\R$.

Voila comment j'ai "résolu" (entre guillement car je ne m'attend pas à ce que ce soit entièrement juste).

La question que je voulais soulever est la suivante:
arccot(x) me donne deux graphes différents, selon si on considère la fonction $f: \R \to ]0, \pi[$ ou $f : \R \to ]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}$.
Mathematica me dessine le graphe avec une discontinuité en 0, qui correspond à la deuxième façon dont j'ai défini arccot, et le logiciel TI-Nspire me dessine le graphe sans discontinuité.
La question avait déjà été soulevée ici: http://www.intmath.com/blog/which-is-th ... f-arccot-x, et c'est une question que je trouve intéressante.

En tout cas merci pour votre aide, et encore désolé pour le retard de ma réponse.

Bonne soirée.

balf
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Re: Homéomorphisme

Message par balf »

Dans l'enseignement français, on a toujours considéré la fonction Arccot (ou Arccotg) (« grand Arc cotangente »), qui est à valeurs dans ]0, π[. Il y a peut-être des besoins dans les applications qui ont fait choisir parfois autrement, ou peut-être pour avoir un intervalle-image identique à celui de Arctg, mais mathématiquement, il est absurde d'introduire des discontinuités alors qu'on peut les éviter par un choix idoine de l'intervalle des valeurs.

B.A.

woodoo
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Re: Homéomorphisme

Message par woodoo »

balf a écrit :un choix idoine
idoine: très joli mot :D . Je le retiens.