Différentiabilité et dérivabilité

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paspythagore
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Différentiabilité et dérivabilité

Message par paspythagore »

Bonjour.
Une petite question, que veut dire $x=x\dot1$ ou $df_{x_0}(1)$ dans la démonstration suivante :
Soient $F$ un espace vectoriel normé, $f:\R\to F$ une application et $x_0\in\R$. Alors, $f$ dérivable en $x_0$ est équivalent à $f$ différentiable en $x_0$ et, pour tout $x \in\R, d_{x_0}f(x)=x\cdot f'(x_0)$. En particulier, $f'(x_0)=d_{x_0}f(1)$.

PREUVE : en reprenant la définition de la différentiabilité en $x_0$, on a $\forall\varepsilon>0,\exists\alpha>0$ tel que $\Vert x\Vert_\R=|x|<\alpha$ entraine :
$$\Vert f(x_0+x)-f(x_0)-df_{x_0}(x)\Vert_F\leqslant\varepsilon|x|,$$
ce qui revient à (en considérant que, dans $\R, x=x\cdot1$),
$$\Vert f(x_0+x)-f(x_0)-df_{x_0}(1)\Vert_F\leqslant\varepsilon|x|,$$
et donc :
$$\ds\lim_{x\to0}\Vert\dfrac{f(x_0+x)-f(x_0)}{x}-df_{x_0}(1)\Vert_F=0.$$
On a bien $d_{x_0}f(1)=f'(x_0)$.

balf
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Re: différentiabilité et dérivabilité

Message par balf »

paspythagore a écrit :
ce qui revient à (en considérant que, dans $\R, x=x\cdot1$),
$$\Vert f(x_0+x)-f(x_0)-df_{x_0}(1)\Vert_F\leqslant\varepsilon|x|,$$
À mon avis, il y a une coquille : il faudrait écrire
$$\Vert f(x_0+x)-f(x_0)-xdf_{x_0}(1)\Vert_F\leqslant\varepsilon|x|,$$ce qui revient à dire qu'on applique le fait que la différentielle en un point est une application linéaire de R dans E.

B.A.

Tonn83
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Re: différentiabilité et dérivabilité

Message par Tonn83 »

paspythagore a écrit :Bonjour.
Une petite question, que veut dire $x=x\cdot 1$ ou $df_{x_0}(1)$ dans la démonstration suivante :
$x$ et $1$ sont des nombres réels. Mais $^\R$ peut être vu comme un $\R$-espace vectoriel. $1$ est alors un vecteur de $\R$ et $x$ un scalaire. $x\cdot 1$, c'est la multiplication extérieure du vecteur $1$ par le scalaire $x$. :wink:
Tonn83

paspythagore
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Re: différentiabilité et dérivabilité

Message par paspythagore »

Merci.