fonction 2 fois différentiable

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paspythagore
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fonction 2 fois différentiable

Message par paspythagore »

Bonsoir.
Un dernier sujet pour le week-end, après je vais faire le point sur tous les renseignements que vous m'avez donnés et demain rando, ça me fera prendre un peu de recul.
Soit $f$ une fonction d'un ouvert $\Omega$ de $E$ dans $F$ qui est différentiable sur $\Omega$ et 2 fois en un point $a$ de $\Omega$ ; on a alors :
$$\boxed{f(a+\vv{h})-f(a)-Df(a)\cdot\vv{h}-\dfrac{1}{2}d^2f(a)\cdot(\vv{h},\vv{h})=o_2(\vv{h})}$$
où $o_2(\vv{h})$ désigne une fonction telle que
$$\forall\varepsilon>0,\exists\alpha/\Vert \vv{h}\Vert<\alpha\Longrightarrow\Vert o_2(\vv{h})\Vert\leqslant\varepsilon\Vert\vv{h}\Vert^2.$$
démonstration : Soit $F$ la fonction définie sur un intervalle $]\alpha_0,\alpha_1[$ par :
$$F(t)=f(a+t\vv{h})-f(a)-tDf(a)\cdot t\vv{h}-\dfrac{1}{2}t^2D^2f(a)\cdot(\vv{h},\vv{h}).$$
On sait que $F$ est différentiable sur $]\alpha_0,\alpha_1[$ et l'on a :
$$F'(t)=Df(a+t\vv{h})\cdot\vv{h}-Df(a)\cdot\vv{h}-tD^2f(a)\cdot(\vv{h},\vv{h})$$
D'aprés mon sujet précédent, la fonction $F'$ est dérivable en $0$ et $F''(0)=0$
Alors là, je ne comprends rien du tout.
Je pensais tranquillement écrire :
$Df(a)\cdot(\vv{h})=f(a+\vv{h})-f(a)-o_1\Vert \vv{h}\Vert$
$D^2f(a)(\vv{h},\vv{h})=$ $f(a+2\vv{h})-f(a+\vv{h})-f(a+\vv{h})+f(a)-o_2(\Vert\vv{h}\Vert)$...

balf
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Re: fonction 2 fois différentiable

Message par balf »

Vous n'avez pas compris l'objet de ce calcul : il ne s'agit pas d'exprimer D²f(a)(h,h) à l'aide de la définition (je n'écris pas les flèches des vecteurs), mais de montrer que F(t), c'est-à-dire la différence entre f(a + th) et son polynôme de Taylor à l'ordre 2, est o(∥h∥²).

B.A.