G-ensemble

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paspythagore
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G-ensemble

Message par paspythagore »

Bonjour.
J'ai quelques questions d'algèbre.
Soit $G$ un groupe et $E$ un $G$-ensemble. Soit $x\in E$, et $g,g'\in E$. Alors :

$g\cdot x=g'\cdot x\Longleftrightarrow gSt(x)=g'St(x),$

...
Démonstration de $gSt(x)=g'St(x) \Longrightarrow g\cdot x=g'\cdot x$

Alors $g\in g' St(x)$ et il existe $h\in g' St(x)$ tel que $g=g'h$.

Je ne comprends pas pourquoi $g\in g' St(x)$, ni pourquoi $h\in g' St(x)$ tel que $g=g'h$
Soit $p$ un nombre premier. Soit $G$ un $p$-groupe opérant sur un ensemble fini $E$. Alors :
$$|E|\equiv|E^G| \ (mod \ p)$$
$E^G$ l'ensemble des points fixes.
Démonstration :
Soient $O(x_1),\cdots, O(x_n)$ les orbites de cardinal supérieur ou égal à 2.
$$|E|=|E^G|+\ds\sum^n_{i=1}|O(x_i)|.$$
Comme $|O(x_1)|>1,|O(x_i)|=[G:St(x_i)|$ est une puissance de $p$.

Je ne comprends pas la dernière ligne.

balf
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Re: G-ensemble

Message par balf »

paspythagore a écrit : Je ne comprends pas pourquoi $g\in g' St(x)$, ni pourquoi $h\in g' St(x)$ tel que $g=g'h$
Parce que g ∈g St(x). Pour la seconde partie de la question : plus exactement, il existe h ∈ St(x) (et non à g'St(x)) tel que…
Comme $|O(x_1)|>1,|O(x_i)|=[G:St(x_i)|$ est une puissance de $p$.

Je ne comprends pas la dernière ligne.
$\mathsf{|O(x_i)|=[G:St(x_i)|}$ est simplement la formule des classes (que $\mathsf{|O(x_1)$ soit >1 ou pas). $\mathsf{[G:St(x_i)|}$ est un diviseur de |G| (c'est le théorème de Lagrange), donc est lui aussi une puissance de p. Puisque le cardinal de l'orbite est > 1, c'est une puissance strictement positive de p.

B.A.

paspythagore
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Re: G-ensemble

Message par paspythagore »

Merci.
g ∈g St(x) simplement parce que $e_G\in St(x)$

balf
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Re: G-ensemble

Message par balf »

Oui…

B.A.