Théorème sur les extrema

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paspythagore
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Théorème sur les extrema

Message par paspythagore »

Bonjour.
J'ai toujours des difficultés avec les notations.
Soient $f$ une fonction différentiable sur un ouvert $\Omega$ d'un espace vectoriel normé $E$ à valeurs dans \R et $a$ un point de $\Omega$. Supposons que le point $a$ soit un minimum (resp. un maximum) local de la fonction $f$, alors on a :

$$Df(a)=0\text{ et }\forall\vv{h}\in E, D^2f(a)(\vv{h},\vv{h})\geqslant0 \text{ (resp.}\leq0).$$
$Df(a)=0$ c'est la valeur de la différentielle en $a$. La valeur de la dérivée en $a$ si on était de $\R\to\R$.
Mais $D^2f(a)(\vv{h},\vv{h})\geqslant0$, c'est la valeur de la différentielle seconde en $a$. Pourquoi $(\vv{h},\vv{h})$ si on obtient une valeur dans $\R$.
Pour moi $D^2f(a)(\vv{h},\vv{h})$ c'est la tangente, l'application linéaire continue.
J'aurai écrit $D^2f(a)\geqslant0$

balf
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Re: Théorème sur les extrema

Message par balf »

Pas du tout. L'application linéaire continue, c'est Df(a), celle qui fournit la meilleure approximation linéaire de f(a+h) – f(a), qui est une fonction de Ω dans R. Elle est un élément de ℒ(E, R), c'est-à-dire un élément du dual (topologique) de E et, comme tel, représenté en dimension finie par une matrice-ligne.
D²f(a) est la différentielle de Df en a, c'est donc la meilleure approximation linéaire de Df(a+h) – Df(a), qui est une fonction de Ω dans ℒ(E, R). C'est donc un élément de ℒ(E, ℒ(E, R)).
Comme ℒ(E, ℒ(E, R)) ≃ ℒ²(E×E, R)) (applications bilinéaires continues de E×E dans R), on obtient donc finalement une forme quadratique sur E, représentée en dimension finie par la matrice hessienne de f.

B.A.

paspythagore
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Re: Théorème sur les extrema

Message par paspythagore »

Bonjour.

Mais alors $Df(a)=0$ n'a pas de sens, à part de dire que la fonction constante égale à $0$.

De même que signifie $D^2f(a)(\vv{h},\vv{h})\geqslant0 $ ?

Sur un exercice avec des fonctions décrites dans $\R$, je sais ce qui doit être égal à $0$ ou comparé à $0$, mais là non.

balf
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Re: Théorème sur les extrema

Message par balf »

Df(a) = 0 signifie qu'en première approximation, la fonction f est constante au voisinage de a. C'est bien le cas au voisinage d'un extremum, non ? (tangent horizontale pour une fonction d'une variable, plan horizontal pour une fonction de deux variables).

D²f(a)(h,h) $\geqslant$ 0 signifie que la forme quadratique associée à la différentielle seconde est positive.. En termes de la fonction f, si a est un point critique (Df(a) = 0), au voisinage de a, la valeur de f ne peut qu'augmenter, bref f(a + h) $\geqslant$ f(a) pour tout h assez petit : f(a) est un minimum local de f.

B.A.

paspythagore
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Re: Théorème sur les extrema

Message par paspythagore »

Une dernière question avec des exercices avec des "nombres" pour illustrer ce théorème :
c'est Df(a), celle qui fournit la meilleure approximation linéaire de f(a+h) – f(a)
J'aurai dit $Df(a)(h)=0$.

balf
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Re: Théorème sur les extrema

Message par balf »

paspythagore a écrit : $Df(a)=0$ c'est la valeur de la différentielle en $a$. La valeur de la dérivée en $a$ si on était de $\R\to\R$.
À condition de préciser que 0 désigne l'application linéaire nulle, pas le nombre 0.
Mais $D^2f(a)(\vv{h},\vv{h})\geqslant0$, c'est la valeur de la différentielle seconde en $a$
Non : ça, c'est la valeur de la forme bilinéaire D²f(a) en (h, h) ; c'est un nombre.
Pourquoi $(\vv{h},\vv{h})$ si on obtient une valeur dans $\R$.
Parce que la source de D²f(a) est E×E (c'est une forme bilinéaire).
Pour moi $D^2f(a)(\vv{h},\vv{h})$ c'est la tangente, l'application linéaire continue.
Là encore, non : la tangente en a, en tant qu'application linéaire continue, c'est Df(a).
J'aurais écrit $D^2f(a)\geqslant0$

Mais D²f(a) n'est pas un nombre ! En revanche, on peut dire que la forme quadratique associée est positive, définie positive, définie négative et que sais-je encore, ce qui se traduit dans les valeurs prises par la forme quadratique : D²f(a)(h, h) $\geqslant$0 (> 0, < 0) pour tout vecteur-accroissement h.

B.A.

paspythagore
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Re: Théorème sur les extrema

Message par paspythagore »

OK merci, je n'ai plus qu'à m'en souvenir.