Toujours la différentielle de la norme

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Modérateur : gdm_sco

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paspythagore
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Toujours la différentielle de la norme

Message par paspythagore »

Bonjour.
Soient $S$ une hypersurface de $\R^N$ et $(a,b)$ un couple de points de $\R^N\setminus S$ ; on considère la fonction $g$ définie par :
$$g(x)=||x-a||+|| x-b||.$$
où $||\cdot||$ désigne la norme euclidienne sur $\R^N$. Si un point $x_0$ de $S$ est un extemum local de $g_{|S}$, alors on a :
$$\dfrac{x_0-a}{||x_0-a||}+\dfrac{x_0-b}{||x_0-b||}\in(T_{x_0}S)^\perp.$$

Il suffit d'observer que, en tout point de $x$ de $\R^N\setminus\{a,b\}$, on a :
$$Dg(x)\cdot\vv{h}=\dfrac{(x-a|\vv{h})}{||x-a||}+\dfrac{(x-b|\vv{h})}{||x-b||}$$
Je suis de nouveau perdu.

La norme euclidienne : $||x-a||=(x-a|x-a)=\Big(\ds\sum_i(x_i-a_i^2\Big)^{1/2}$

$(x+h-a|x+h-a)-(x-a|x-a)=2\Big((x|h)-a|h)\Big)+o(h^2)$ ?

Je n'arrive pas à retrouver le résultat du cours.

Rivten
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Re: toujours la différentielle de la norme

Message par Rivten »

Salut !

Je commence un petit peu à rouiller mais j'essaye d'aider modestement.

Je suis d'accord avec $$||x+h-a||^2 = ||x-a||^2 + 2(x-a|h) + O(||h||^2) $$

Pour arriver au résultat, je pense qu'il suffit de prendre la racine de cette expression et d'effectuer un développement limité de $$\sqrt{1+x}$$ au voisinage de 0.
2010 - 2013 : Lycée Saint Louis, Paris
2013 - : École Polytechnique

balf
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Re: toujours la différentielle de la norme

Message par balf »

Si vous posez g(u)=√u et φ(x) = (x – a, x – a), on applique la formule de différentiation d'une composée :
D(g φ)(x) = Dg(φ(x)) Dφ(x).
Comme √ est une fonction numérique, sa différentielle est simplement la multiplication scalaire par la dérivée (plus exactement le nombre dérivé), et Dφ(x)(h) = 2(x – a, h).

B.A.