Théorème des valeurs intermédiaires pour la bijection

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau supérieur au baccalauréat.

Modérateur : gdm_sco

Règles du forum
Merci de soigner la rédaction de vos messages et de consulter ce sujet avant de poster. Pensez également à utiliser la fonction recherche du forum.
nadia0016
Utilisateur confirmé
Utilisateur confirmé
Messages : 25
Inscription : lundi 18 octobre 2010, 16:10

Théorème des valeurs intermédiaires pour la bijection

Message par nadia0016 »

Bonjour,
j'ai besoin de votre aide SVP
$f$ la fonction définie par:
$f(x)=\frac{2x}{1+x^2}$ de $[-1;1]$ vers $[-1;1]$
je veux montrer que $f$ est bijective en utilisant le théorème dite de la bijection(corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) :
si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a;b]$ alors : $f$ est bijective de $[a;b]$ vers $[f(a),f(b)]$ (ou bien $[f(b),f(a)]$ si $f$ est décroissante)
Dans notre cas $f$ est continue sur $[-1;1]$
Et pour la monotonie j'ai calculée la dérivé de $f$ : $f'(x)=\frac{2(1-x^2)}{(1+x^2)^2}$
On a $1-x^2\geqslant0$ sur $[-1,1]$ donc $f'(x)\geqslant0$
et par conséquent $f$ est croissante sur $[-1;1]$ et non pas strictement croissante
Est ce que le théorème est toujours applicable même si la monotonie n'est pas stricte ?
Merci d'avance

guiguiche
Modérateur global
Modérateur global
Messages : 8088
Inscription : vendredi 06 janvier 2006, 15:32
Statut actuel : Enseignant
Localisation : Le Mans

Re: théorème des valeurs intermédiaires pour la bijection

Message par guiguiche »

Bonjour

Il faut étudier les valeurs de x qui annulent la fonction dérivée. La croissance stricte est fondamentale : si f est continue et dérivable sur [a,b], si f' est strictement positive sur [a,b] sauf éventuellement en un nombre fini de réels de [a,b] alors f est strictement croissante sur [a,b].
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.

nadia0016
Utilisateur confirmé
Utilisateur confirmé
Messages : 25
Inscription : lundi 18 octobre 2010, 16:10

Re: théorème des valeurs intermédiaires pour la bijection

Message par nadia0016 »

guiguiche a écrit :Bonjour

Il faut étudier les valeurs de x qui annulent la fonction dérivée. La croissance stricte est fondamentale : si f est continue et dérivable sur [a,b], si f' est strictement positive sur [a,b] sauf éventuellement en un nombre fini de réels de [a,b] alors f est strictement croissante sur [a,b].
Merci de votre réponse
Donc si j'ai bien compris :
la dérivée de $f$ s'annule juste en deux points $-1$ et $1$, Alors on peut dire que $f$ est strictement croissante sur $[-1,1]$
c'est ça ?

balf
Utilisateur chevronné
Utilisateur chevronné
Messages : 3969
Inscription : mercredi 02 janvier 2008, 23:18

Re: théorème des valeurs intermédiaires pour la bijection

Message par balf »

Oui. Ça résulte du cas de base : si une fonction est continue sur un intervalle fermé [a, b], dérivable à l'intérieur ( dans ]a, b[) et si la dérivée y est strictement positive, alors la fonction est strictement croissante sur [a, b].

Autrement dit, ce qui se passe aux bornes n'a aucune importance, dès lors que la fonction reste continue. C'est comme pour les hypothèses du théorème des accroissements finis. Elle peut même ne pas être dérivable aux bornes (cf la fonction racine carrée).

B.A.

nadia0016
Utilisateur confirmé
Utilisateur confirmé
Messages : 25
Inscription : lundi 18 octobre 2010, 16:10

Re: théorème des valeurs intermédiaires pour la bijection

Message par nadia0016 »

balf a écrit :Oui. Ça résulte du cas de base : si une fonction est continue sur un intervalle fermé [a, b], dérivable à l'intérieur ( dans ]a, b[) et si la dérivée y est strictement positive, alors la fonction est strictement croissante sur [a, b].

Autrement dit, ce qui se passe aux bornes n'a aucune importance, dès lors que la fonction reste continue. C'est comme pour les hypothèses du théorème des accroissements finis. Elle peut même ne pas être dérivable aux bornes (cf la fonction racine carrée).

B.A.
je vous remercie beaucoup :)